Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1553 / 532
↖ ↑ ↗
← N 65.072130°
E 92.988281°		 ← 8 238.20 m → N 65.072130°
E 93.164063°		 →
↑
8 249.62 m
↓
↑
8 249.62 m
↓
N 64.997939°
E 92.988281°		 ← 8 261.15 m →
68 056 682 m²		 N 64.997939°
E 93.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758544921875 y=0.260009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758544921875 × 211)
    floor (0.758544921875 × 2048)
    floor (1553.5)     		tx = 1553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260009765625 × 211)
    floor (0.260009765625 × 2048)
    floor (532.5)     		ty = 532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1553 / 532 ti = "11/1553/532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1553/532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1553 ÷ 211
    1553 ÷ 2048     		x = 0.75830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 532 ÷ 211
    532 ÷ 2048     		y = 0.259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62295167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259765625 × 2 - 1) × π
    0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62295167} λ = 1.62295167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50943709523633))-π/2
    2×atan(4.5241833930257)-π/2
    2×1.35325962402831-π/2
    2.70651924805661-1.57079632675     		φ = 1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62295167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1553 KachelY 532 1.62295167 1.13572292 92.988281 65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 1554 KachelY 532 1.62601964 1.13572292 93.164063 65.072130
    Unten links KachelX 1553 KachelY + 1 533 1.62295167 1.13442805 92.988281 64.997939
    Unten rechts KachelX + 1 1554 KachelY + 1 533 1.62601964 1.13442805 93.164063 64.997939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13572292-1.13442805) × R
    0.00129487000000017 × 6371000     		dl = 8249.61677000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13572292-1.13442805) × R
    0.00129487000000017 × 6371000     		dr = 8249.61677000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62295167-1.62601964) × cos(1.13572292) × R
    0.00306797000000003 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 8238.20440826658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62295167-1.62601964) × cos(1.13442805) × R
    0.00306797000000003 × 0.422650855736037 × 6371000     		du = 8261.14920935372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13572292)-sin(1.13442805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.422650855736037)×R²
    abs(1.62601964-1.62295167)×0.00117388508165334×R²
    0.00306797000000003×0.00117388508165334×6371000²
    0.00306797000000003×0.00117388508165334×40589641000000     		ar = 68056681.6582058m²