Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15529 / 8767
↖ ↑ ↗
← N 63.864876°
W  9.393311°		 ← 538.12 m → N 63.864876°
W  9.382324°		 →
↑
538.16 m
↓
↑
538.16 m
↓
N 63.860036°
W  9.393311°		 ← 538.21 m →
289 618 m²		 N 63.860036°
W  9.382324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473922729492188 y=0.267562866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473922729492188 × 215)
    floor (0.473922729492188 × 32768)
    floor (15529.5)     		tx = 15529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267562866210938 × 215)
    floor (0.267562866210938 × 32768)
    floor (8767.5)     		ty = 8767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15529 / 8767 ti = "15/15529/8767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15529/8767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15529 ÷ 215
    15529 ÷ 32768     		x = 0.473907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8767 ÷ 215
    8767 ÷ 32768     		y = 0.267547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16394420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267547607421875 × 2 - 1) × π
    0.46490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46054145762387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16394420} λ = -0.16394420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46054145762387))-π/2
    2×atan(4.30829165427661)-π/2
    2×1.34272434184394-π/2
    2.68544868368787-1.57079632675     		φ = 1.11465236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16394420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.393311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11465236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.864876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15529 KachelY 8767 -0.16394420 1.11465236 -9.393311 63.864876
    Oben rechts KachelX + 1 15530 KachelY 8767 -0.16375245 1.11465236 -9.382324 63.864876
    Unten links KachelX 15529 KachelY + 1 8768 -0.16394420 1.11456789 -9.393311 63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 15530 KachelY + 1 8768 -0.16375245 1.11456789 -9.382324 63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11465236-1.11456789) × R
    8.44700000000032e-05 × 6371000     		dl = 538.15837000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11465236-1.11456789) × R
    8.44700000000032e-05 × 6371000     		dr = 538.15837000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16394420--0.16375245) × cos(1.11465236) × R
    0.000191750000000018 × 0.440489606817763 × 6371000     		do = 538.119392905698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16394420--0.16375245) × cos(1.11456789) × R
    0.000191750000000018 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 538.212032280433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11465236)-sin(1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440489606817763-0.44056543883997)×R²
    abs(-0.16375245--0.16394420)×7.58320222068454e-05×R²
    0.000191750000000018×7.58320222068454e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.58320222068454e-05×40589641000000     		ar = 289618.3828509m²