Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15529 / 19097
↖ ↑ ↗
← S 28.545926°
W  9.393311°		 ← 1 073.13 m → S 28.545926°
W  9.382324°		 →
↑
1 073.07 m
↓
↑
1 073.07 m
↓
S 28.555576°
W  9.393311°		 ← 1 073.03 m →
1 151 488 m²		 S 28.555576°
W  9.382324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473922729492188 y=0.582809448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473922729492188 × 215)
    floor (0.473922729492188 × 32768)
    floor (15529.5)     		tx = 15529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582809448242188 × 215)
    floor (0.582809448242188 × 32768)
    floor (19097.5)     		ty = 19097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15529 / 19097 ti = "15/15529/19097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15529/19097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15529 ÷ 215
    15529 ÷ 32768     		x = 0.473907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19097 ÷ 215
    19097 ÷ 32768     		y = 0.582794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16394420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.16558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.520211234676849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16394420} λ = -0.16394420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520211234676849))-π/2
    2×atan(0.594394977877209)-π/2
    2×0.536287967453895-π/2
    1.07257593490779-1.57079632675     		φ = -0.49822039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16394420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.393311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49822039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.545926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15529 KachelY 19097 -0.16394420 -0.49822039 -9.393311 -28.545926
    Oben rechts KachelX + 1 15530 KachelY 19097 -0.16375245 -0.49822039 -9.382324 -28.545926
    Unten links KachelX 15529 KachelY + 1 19098 -0.16394420 -0.49838882 -9.393311 -28.555576
    Unten rechts KachelX + 1 15530 KachelY + 1 19098 -0.16375245 -0.49838882 -9.382324 -28.555576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49822039--0.49838882) × R
    0.000168429999999997 × 6371000     		dl = 1073.06752999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49822039--0.49838882) × R
    0.000168429999999997 × 6371000     		dr = 1073.06752999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16394420--0.16375245) × cos(-0.49822039) × R
    0.000191750000000018 × 0.878434362266007 × 6371000     		do = 1073.12989549298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16394420--0.16375245) × cos(-0.49838882) × R
    0.000191750000000018 × 0.878353863336989 × 6371000     		du = 1073.0315548417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49822039)-sin(-0.49838882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878434362266007-0.878353863336989)×R²
    abs(-0.16375245--0.16394420)×8.04989290182911e-05×R²
    0.000191750000000018×8.04989290182911e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.04989290182911e-05×40589641000000     		ar = 1151488.0859679m²