Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15527 / 6373
↖ ↑ ↗
← N 73.312091°
W  9.415283°		 ← 350.80 m → N 73.312091°
W  9.404297°		 →
↑
350.79 m
↓
↑
350.79 m
↓
N 73.308936°
W  9.415283°		 ← 350.87 m →
123 069 m²		 N 73.308936°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473861694335938 y=0.194503784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473861694335938 × 215)
    floor (0.473861694335938 × 32768)
    floor (15527.5)     		tx = 15527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194503784179688 × 215)
    floor (0.194503784179688 × 32768)
    floor (6373.5)     		ty = 6373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15527 / 6373 ti = "15/15527/6373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15527/6373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15527 ÷ 215
    15527 ÷ 32768     		x = 0.473846435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6373 ÷ 215
    6373 ÷ 32768     		y = 0.194488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.05230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16432769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194488525390625 × 2 - 1) × π
    0.61102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91958520838553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16432769} λ = -0.16432769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91958520838553))-π/2
    2×atan(6.81812977961397)-π/2
    2×1.4251668503811-π/2
    2.85033370076219-1.57079632675     		φ = 1.27953737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16432769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.415283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27953737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.312091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15527 KachelY 6373 -0.16432769 1.27953737 -9.415283 73.312091
    Oben rechts KachelX + 1 15528 KachelY 6373 -0.16413594 1.27953737 -9.404297 73.312091
    Unten links KachelX 15527 KachelY + 1 6374 -0.16432769 1.27948231 -9.415283 73.308936
    Unten rechts KachelX + 1 15528 KachelY + 1 6374 -0.16413594 1.27948231 -9.404297 73.308936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27953737-1.27948231) × R
    5.50599999999957e-05 × 6371000     		dl = 350.787259999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27953737-1.27948231) × R
    5.50599999999957e-05 × 6371000     		dr = 350.787259999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16432769--0.16413594) × cos(1.27953737) × R
    0.000191749999999991 × 0.287158385811263 × 6371000     		do = 350.803955073665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16432769--0.16413594) × cos(1.27948231) × R
    0.000191749999999991 × 0.287211126420258 × 6371000     		du = 350.868385071682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27953737)-sin(1.27948231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287158385811263-0.287211126420258)×R²
    abs(-0.16413594--0.16432769)×5.27406089944615e-05×R²
    0.000191749999999991×5.27406089944615e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.27406089944615e-05×40589641000000     		ar = 123068.858840216m²