Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15526 / 19113
↖ ↑ ↗
← S 28.700225°
W  9.426270°		 ← 1 071.55 m → S 28.700225°
W  9.415283°		 →
↑
1 071.47 m
↓
↑
1 071.47 m
↓
S 28.709861°
W  9.426270°		 ← 1 071.46 m →
1 148 090 m²		 S 28.709861°
W  9.415283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473831176757812 y=0.583297729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473831176757812 × 215)
    floor (0.473831176757812 × 32768)
    floor (15526.5)     		tx = 15526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583297729492188 × 215)
    floor (0.583297729492188 × 32768)
    floor (19113.5)     		ty = 19113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15526 / 19113 ti = "15/15526/19113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15526/19113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15526 ÷ 215
    15526 ÷ 32768     		x = 0.47381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19113 ÷ 215
    19113 ÷ 32768     		y = 0.583282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.0523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16451944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583282470703125 × 2 - 1) × π
    -0.16656494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.523279196252533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16451944} λ = -0.16451944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523279196252533))-π/2
    2×atan(0.592574191403934)-π/2
    2×0.53494145492844-π/2
    1.06988290985688-1.57079632675     		φ = -0.50091342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16451944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50091342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.700225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15526 KachelY 19113 -0.16451944 -0.50091342 -9.426270 -28.700225
    Oben rechts KachelX + 1 15527 KachelY 19113 -0.16432769 -0.50091342 -9.415283 -28.700225
    Unten links KachelX 15526 KachelY + 1 19114 -0.16451944 -0.50108160 -9.426270 -28.709861
    Unten rechts KachelX + 1 15527 KachelY + 1 19114 -0.16432769 -0.50108160 -9.415283 -28.709861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50091342--0.50108160) × R
    0.000168179999999962 × 6371000     		dl = 1071.47477999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50091342--0.50108160) × R
    0.000168179999999962 × 6371000     		dr = 1071.47477999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16451944--0.16432769) × cos(-0.50091342) × R
    0.000191749999999991 × 0.877144278976417 × 6371000     		do = 1071.55387911049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16451944--0.16432769) × cos(-0.50108160) × R
    0.000191749999999991 × 0.877063502005237 × 6371000     		du = 1071.455198792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50091342)-sin(-0.50108160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877144278976417-0.877063502005237)×R²
    abs(-0.16432769--0.16451944)×8.07769711800299e-05×R²
    0.000191749999999991×8.07769711800299e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.07769711800299e-05×40589641000000     		ar = 1148090.09284756m²