Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15525 / 8755
↖ ↑ ↗
← N 63.922888°
W  9.437256°		 ← 537.01 m → N 63.922888°
W  9.426270°		 →
↑
537.01 m
↓
↑
537.01 m
↓
N 63.918058°
W  9.437256°		 ← 537.10 m →
288 405 m²		 N 63.918058°
W  9.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473800659179688 y=0.267196655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473800659179688 × 215)
    floor (0.473800659179688 × 32768)
    floor (15525.5)     		tx = 15525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267196655273438 × 215)
    floor (0.267196655273438 × 32768)
    floor (8755.5)     		ty = 8755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15525 / 8755 ti = "15/15525/8755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15525/8755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15525 ÷ 215
    15525 ÷ 32768     		x = 0.473785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8755 ÷ 215
    8755 ÷ 32768     		y = 0.267181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.05242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16471119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267181396484375 × 2 - 1) × π
    0.46563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46284242880563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16471119} λ = -0.16471119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46284242880563))-π/2
    2×atan(4.3182163230253)-π/2
    2×1.34323059563813-π/2
    2.68646119127627-1.57079632675     		φ = 1.11566486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16471119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11566486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.922888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15525 KachelY 8755 -0.16471119 1.11566486 -9.437256 63.922888
    Oben rechts KachelX + 1 15526 KachelY 8755 -0.16451944 1.11566486 -9.426270 63.922888
    Unten links KachelX 15525 KachelY + 1 8756 -0.16471119 1.11558057 -9.437256 63.918058
    Unten rechts KachelX + 1 15526 KachelY + 1 8756 -0.16451944 1.11558057 -9.426270 63.918058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11566486-1.11558057) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dl = 537.011589999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11566486-1.11558057) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dr = 537.011589999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16471119--0.16451944) × cos(1.11566486) × R
    0.000191750000000018 × 0.439580401506141 × 6371000     		do = 537.008672010712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16471119--0.16451944) × cos(1.11558057) × R
    0.000191750000000018 × 0.439656109496066 × 6371000     		du = 537.101159862743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11566486)-sin(1.11558057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439580401506141-0.439656109496066)×R²
    abs(-0.16451944--0.16471119)×7.57079899252333e-05×R²
    0.000191750000000018×7.57079899252333e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.57079899252333e-05×40589641000000     		ar = 288404.714495892m²