Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15524 / 8754
↖ ↑ ↗
← N 63.927717°
W  9.448242°		 ← 536.89 m → N 63.927717°
W  9.437256°		 →
↑
537.01 m
↓
↑
537.01 m
↓
N 63.922888°
W  9.448242°		 ← 536.98 m →
288 340 m²		 N 63.922888°
W  9.437256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473770141601562 y=0.267166137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473770141601562 × 215)
    floor (0.473770141601562 × 32768)
    floor (15524.5)     		tx = 15524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267166137695312 × 215)
    floor (0.267166137695312 × 32768)
    floor (8754.5)     		ty = 8754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15524 / 8754 ti = "15/15524/8754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15524/8754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15524 ÷ 215
    15524 ÷ 32768     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8754 ÷ 215
    8754 ÷ 32768     		y = 0.26715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26715087890625 × 2 - 1) × π
    0.4656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46303417640411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46303417640411))-π/2
    2×atan(4.31904441002427)-π/2
    2×1.34327273625185-π/2
    2.68654547250371-1.57079632675     		φ = 1.11574915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11574915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.927717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15524 KachelY 8754 -0.16490293 1.11574915 -9.448242 63.927717
    Oben rechts KachelX + 1 15525 KachelY 8754 -0.16471119 1.11574915 -9.437256 63.927717
    Unten links KachelX 15524 KachelY + 1 8755 -0.16490293 1.11566486 -9.448242 63.922888
    Unten rechts KachelX + 1 15525 KachelY + 1 8755 -0.16471119 1.11566486 -9.437256 63.922888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11574915-1.11566486) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dl = 537.011589999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11574915-1.11566486) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dr = 537.011589999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16471119) × cos(1.11574915) × R
    0.000191739999999996 × 0.439504690393083 × 6371000     		do = 536.888179499451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16471119) × cos(1.11566486) × R
    0.000191739999999996 × 0.439580401506141 × 6371000     		du = 536.980666343269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11574915)-sin(1.11566486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439504690393083-0.439580401506141)×R²
    abs(-0.16471119--0.16490293)×7.57111130579302e-05×R²
    0.000191739999999996×7.57111130579302e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.57111130579302e-05×40589641000000     		ar = 288340.008349529m²