Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15524 / 8750
↖ ↑ ↗
← N 63.947025°
W  9.448242°		 ← 536.52 m → N 63.947025°
W  9.437256°		 →
↑
536.63 m
↓
↑
536.63 m
↓
N 63.942199°
W  9.448242°		 ← 536.61 m →
287 936 m²		 N 63.942199°
W  9.437256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473770141601562 y=0.267044067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473770141601562 × 215)
    floor (0.473770141601562 × 32768)
    floor (15524.5)     		tx = 15524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267044067382812 × 215)
    floor (0.267044067382812 × 32768)
    floor (8750.5)     		ty = 8750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15524 / 8750 ti = "15/15524/8750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15524/8750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15524 ÷ 215
    15524 ÷ 32768     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8750 ÷ 215
    8750 ÷ 32768     		y = 0.26702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26702880859375 × 2 - 1) × π
    0.4659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46380116679803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46380116679803))-π/2
    2×atan(4.32235834631387)-π/2
    2×1.34344122614143-π/2
    2.68688245228286-1.57079632675     		φ = 1.11608613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11608613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.947025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15524 KachelY 8750 -0.16490293 1.11608613 -9.448242 63.947025
    Oben rechts KachelX + 1 15525 KachelY 8750 -0.16471119 1.11608613 -9.437256 63.947025
    Unten links KachelX 15524 KachelY + 1 8751 -0.16490293 1.11600190 -9.448242 63.942199
    Unten rechts KachelX + 1 15525 KachelY + 1 8751 -0.16471119 1.11600190 -9.437256 63.942199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11608613-1.11600190) × R
    8.42299999999074e-05 × 6371000     		dl = 536.62932999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11608613-1.11600190) × R
    8.42299999999074e-05 × 6371000     		dr = 536.62932999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16471119) × cos(1.11608613) × R
    0.000191739999999996 × 0.439201976430193 × 6371000     		do = 536.518391526769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16471119) × cos(1.11600190) × R
    0.000191739999999996 × 0.439277646122658 × 6371000     		du = 536.610827772203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11608613)-sin(1.11600190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439201976430193-0.439277646122658)×R²
    abs(-0.16471119--0.16490293)×7.56696924645306e-05×R²
    0.000191739999999996×7.56696924645306e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.56696924645306e-05×40589641000000     		ar = 287936.307147412m²