Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15523 / 8766
↖ ↑ ↗
← N 63.869714°
W  9.459228°		 ← 538.03 m → N 63.869714°
W  9.448242°		 →
↑
538.03 m
↓
↑
538.03 m
↓
N 63.864876°
W  9.459228°		 ← 538.12 m →
289 500 m²		 N 63.864876°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473739624023438 y=0.267532348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473739624023438 × 215)
    floor (0.473739624023438 × 32768)
    floor (15523.5)     		tx = 15523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267532348632812 × 215)
    floor (0.267532348632812 × 32768)
    floor (8766.5)     		ty = 8766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15523 / 8766 ti = "15/15523/8766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15523/8766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15523 ÷ 215
    15523 ÷ 32768     		x = 0.473724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8766 ÷ 215
    8766 ÷ 32768     		y = 0.26751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16509468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26751708984375 × 2 - 1) × π
    0.4649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46073320522235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16509468} λ = -0.16509468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46073320522235))-π/2
    2×atan(4.30911783806172)-π/2
    2×1.34276656962157-π/2
    2.68553313924315-1.57079632675     		φ = 1.11473681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16509468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.459228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11473681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.869714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15523 KachelY 8766 -0.16509468 1.11473681 -9.459228 63.869714
    Oben rechts KachelX + 1 15524 KachelY 8766 -0.16490293 1.11473681 -9.448242 63.869714
    Unten links KachelX 15523 KachelY + 1 8767 -0.16509468 1.11465236 -9.459228 63.864876
    Unten rechts KachelX + 1 15524 KachelY + 1 8767 -0.16490293 1.11465236 -9.448242 63.864876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11473681-1.11465236) × R
    8.44499999999027e-05 × 6371000     		dl = 538.03094999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11473681-1.11465236) × R
    8.44499999999027e-05 × 6371000     		dr = 538.03094999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16509468--0.16490293) × cos(1.11473681) × R
    0.000191749999999991 × 0.440413789608481 × 6371000     		do = 538.026771626937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16509468--0.16490293) × cos(1.11465236) × R
    0.000191749999999991 × 0.440489606817763 × 6371000     		du = 538.11939290562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11473681)-sin(1.11465236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440413789608481-0.440489606817763)×R²
    abs(-0.16490293--0.16509468)×7.58172092815146e-05×R²
    0.000191749999999991×7.58172092815146e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.58172092815146e-05×40589641000000     		ar = 289499.971792502m²