Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15523 / 8765
↖ ↑ ↗
← N 63.874553°
W  9.459228°		 ← 537.93 m → N 63.874553°
W  9.448242°		 →
↑
537.97 m
↓
↑
537.97 m
↓
N 63.869714°
W  9.459228°		 ← 538.03 m →
289 416 m²		 N 63.869714°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473739624023438 y=0.267501831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473739624023438 × 215)
    floor (0.473739624023438 × 32768)
    floor (15523.5)     		tx = 15523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267501831054688 × 215)
    floor (0.267501831054688 × 32768)
    floor (8765.5)     		ty = 8765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15523 / 8765 ti = "15/15523/8765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15523/8765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15523 ÷ 215
    15523 ÷ 32768     		x = 0.473724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8765 ÷ 215
    8765 ÷ 32768     		y = 0.267486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16509468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267486572265625 × 2 - 1) × π
    0.46502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46092495282083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16509468} λ = -0.16509468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46092495282083))-π/2
    2×atan(4.30994418028077)-π/2
    2×1.34280879013033-π/2
    2.68561758026065-1.57079632675     		φ = 1.11482125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16509468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.459228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11482125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.874553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15523 KachelY 8765 -0.16509468 1.11482125 -9.459228 63.874553
    Oben rechts KachelX + 1 15524 KachelY 8765 -0.16490293 1.11482125 -9.448242 63.874553
    Unten links KachelX 15523 KachelY + 1 8766 -0.16509468 1.11473681 -9.459228 63.869714
    Unten rechts KachelX + 1 15524 KachelY + 1 8766 -0.16490293 1.11473681 -9.448242 63.869714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11482125-1.11473681) × R
    8.44400000001855e-05 × 6371000     		dl = 537.967240001182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11482125-1.11473681) × R
    8.44400000001855e-05 × 6371000     		dr = 537.967240001182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16509468--0.16490293) × cos(1.11482125) × R
    0.000191749999999991 × 0.440337978236576 × 6371000     		do = 537.934157479421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16509468--0.16490293) × cos(1.11473681) × R
    0.000191749999999991 × 0.440413789608481 × 6371000     		du = 538.026771626937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11482125)-sin(1.11473681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440337978236576-0.440413789608481)×R²
    abs(-0.16490293--0.16509468)×7.58113719050435e-05×R²
    0.000191749999999991×7.58113719050435e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.58113719050435e-05×40589641000000     		ar = 289415.865862883m²