Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15522 / 8618
↖ ↑ ↗
← N 64.576754°
W  9.470215°		 ← 524.45 m → N 64.576754°
W  9.459228°		 →
↑
524.52 m
↓
↑
524.52 m
↓
N 64.572036°
W  9.470215°		 ← 524.54 m →
275 112 m²		 N 64.572036°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473709106445312 y=0.263015747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473709106445312 × 215)
    floor (0.473709106445312 × 32768)
    floor (15522.5)     		tx = 15522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263015747070312 × 215)
    floor (0.263015747070312 × 32768)
    floor (8618.5)     		ty = 8618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15522 / 8618 ti = "15/15522/8618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15522/8618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15522 ÷ 215
    15522 ÷ 32768     		x = 0.47369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8618 ÷ 215
    8618 ÷ 32768     		y = 0.26300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26300048828125 × 2 - 1) × π
    0.4739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48911184979742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16528643} λ = -0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48911184979742))-π/2
    2×atan(4.43315646121603)-π/2
    2×1.34893664815119-π/2
    2.69787329630238-1.57079632675     		φ = 1.12707697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12707697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.576754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15522 KachelY 8618 -0.16528643 1.12707697 -9.470215 64.576754
    Oben rechts KachelX + 1 15523 KachelY 8618 -0.16509468 1.12707697 -9.459228 64.576754
    Unten links KachelX 15522 KachelY + 1 8619 -0.16528643 1.12699464 -9.470215 64.572036
    Unten rechts KachelX + 1 15523 KachelY + 1 8619 -0.16509468 1.12699464 -9.459228 64.572036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12707697-1.12699464) × R
    8.23300000001304e-05 × 6371000     		dl = 524.524430000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12707697-1.12699464) × R
    8.23300000001304e-05 × 6371000     		dr = 524.524430000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16528643--0.16509468) × cos(1.12707697) × R
    0.000191750000000018 × 0.429301605415843 × 6371000     		do = 524.451691264057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16528643--0.16509468) × cos(1.12699464) × R
    0.000191750000000018 × 0.429375961221419 × 6371000     		du = 524.542527234613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12707697)-sin(1.12699464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429301605415843-0.429375961221419)×R²
    abs(-0.16509468--0.16528643)×7.43558055754656e-05×R²
    0.000191750000000018×7.43558055754656e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.43558055754656e-05×40589641000000     		ar = 275111.547421873m²