Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15522 / 18598
↖ ↑ ↗
← S 23.624395°
W  9.470215°		 ← 1 119.26 m → S 23.624395°
W  9.459228°		 →
↑
1 119.19 m
↓
↑
1 119.19 m
↓
S 23.634460°
W  9.470215°		 ← 1 119.17 m →
1 252 616 m²		 S 23.634460°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473709106445312 y=0.567581176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473709106445312 × 215)
    floor (0.473709106445312 × 32768)
    floor (15522.5)     		tx = 15522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567581176757812 × 215)
    floor (0.567581176757812 × 32768)
    floor (18598.5)     		ty = 18598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15522 / 18598 ti = "15/15522/18598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15522/18598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15522 ÷ 215
    15522 ÷ 32768     		x = 0.47369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18598 ÷ 215
    18598 ÷ 32768     		y = 0.56756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.424529183035217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16528643} λ = -0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424529183035217))-π/2
    2×atan(0.654077663507243)-π/2
    2×0.579236428887092-π/2
    1.15847285777418-1.57079632675     		φ = -0.41232347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41232347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.624395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15522 KachelY 18598 -0.16528643 -0.41232347 -9.470215 -23.624395
    Oben rechts KachelX + 1 15523 KachelY 18598 -0.16509468 -0.41232347 -9.459228 -23.624395
    Unten links KachelX 15522 KachelY + 1 18599 -0.16528643 -0.41249914 -9.470215 -23.634460
    Unten rechts KachelX + 1 15523 KachelY + 1 18599 -0.16509468 -0.41249914 -9.459228 -23.634460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41232347--0.41249914) × R
    0.000175669999999961 × 6371000     		dl = 1119.19356999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41232347--0.41249914) × R
    0.000175669999999961 × 6371000     		dr = 1119.19356999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16528643--0.16509468) × cos(-0.41232347) × R
    0.000191750000000018 × 0.916192191291469 × 6371000     		do = 1119.25634142527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16528643--0.16509468) × cos(-0.41249914) × R
    0.000191750000000018 × 0.91612177930803 × 6371000     		du = 1119.17032338263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41232347)-sin(-0.41249914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916192191291469-0.91612177930803)×R²
    abs(-0.16509468--0.16528643)×7.04119834389338e-05×R²
    0.000191750000000018×7.04119834389338e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.04119834389338e-05×40589641000000     		ar = 1252616.36830544m²