Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15521 / 8763
↖ ↑ ↗
← N 63.884226°
W  9.481201°		 ← 537.75 m → N 63.884226°
W  9.470215°		 →
↑
537.78 m
↓
↑
537.78 m
↓
N 63.879390°
W  9.481201°		 ← 537.84 m →
289 213 m²		 N 63.879390°
W  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473678588867188 y=0.267440795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473678588867188 × 215)
    floor (0.473678588867188 × 32768)
    floor (15521.5)     		tx = 15521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267440795898438 × 215)
    floor (0.267440795898438 × 32768)
    floor (8763.5)     		ty = 8763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15521 / 8763 ti = "15/15521/8763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15521/8763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15521 ÷ 215
    15521 ÷ 32768     		x = 0.473663330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8763 ÷ 215
    8763 ÷ 32768     		y = 0.267425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.05267333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16547818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267425537109375 × 2 - 1) × π
    0.46514892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46130844801779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16547818} λ = -0.16547818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46130844801779))-π/2
    2×atan(4.31159734014225)-π/2
    2×1.34289320934497-π/2
    2.68578641868994-1.57079632675     		φ = 1.11499009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16547818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.481201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11499009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.884226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15521 KachelY 8763 -0.16547818 1.11499009 -9.481201 63.884226
    Oben rechts KachelX + 1 15522 KachelY 8763 -0.16528643 1.11499009 -9.470215 63.884226
    Unten links KachelX 15521 KachelY + 1 8764 -0.16547818 1.11490568 -9.481201 63.879390
    Unten rechts KachelX + 1 15522 KachelY + 1 8764 -0.16528643 1.11490568 -9.470215 63.879390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11499009-1.11490568) × R
    8.44100000001458e-05 × 6371000     		dl = 537.776110000929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11499009-1.11490568) × R
    8.44100000001458e-05 × 6371000     		dr = 537.776110000929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16547818--0.16528643) × cos(1.11499009) × R
    0.000191749999999991 × 0.440186381990585 × 6371000     		do = 537.748961555166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16547818--0.16528643) × cos(1.11490568) × R
    0.000191749999999991 × 0.440262172703705 × 6371000     		du = 537.841550465098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11499009)-sin(1.11490568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440186381990585-0.440262172703705)×R²
    abs(-0.16528643--0.16547818)×7.57907131193059e-05×R²
    0.000191749999999991×7.57907131193059e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.57907131193059e-05×40589641000000     		ar = 289213.440925941m²