Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15521 / 19491
↖ ↑ ↗
← S 32.277844°
W  9.481201°		 ← 1 032.86 m → S 32.277844°
W  9.470215°		 →
↑
1 032.80 m
↓
↑
1 032.80 m
↓
S 32.287133°
W  9.481201°		 ← 1 032.75 m →
1 066 683 m²		 S 32.287133°
W  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473678588867188 y=0.594833374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473678588867188 × 215)
    floor (0.473678588867188 × 32768)
    floor (15521.5)     		tx = 15521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594833374023438 × 215)
    floor (0.594833374023438 × 32768)
    floor (19491.5)     		ty = 19491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15521 / 19491 ti = "15/15521/19491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15521/19491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15521 ÷ 215
    15521 ÷ 32768     		x = 0.473663330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19491 ÷ 215
    19491 ÷ 32768     		y = 0.594818115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.05267333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16547818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.18963623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.595759788478058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16547818} λ = -0.16547818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595759788478058))-π/2
    2×atan(0.551143654147657)-π/2
    2×0.503720832288026-π/2
    1.00744166457605-1.57079632675     		φ = -0.56335466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16547818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.481201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56335466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.277844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15521 KachelY 19491 -0.16547818 -0.56335466 -9.481201 -32.277844
    Oben rechts KachelX + 1 15522 KachelY 19491 -0.16528643 -0.56335466 -9.470215 -32.277844
    Unten links KachelX 15521 KachelY + 1 19492 -0.16547818 -0.56351677 -9.481201 -32.287133
    Unten rechts KachelX + 1 15522 KachelY + 1 19492 -0.16528643 -0.56351677 -9.470215 -32.287133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56335466--0.56351677) × R
    0.000162109999999993 × 6371000     		dl = 1032.80280999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56335466--0.56351677) × R
    0.000162109999999993 × 6371000     		dr = 1032.80280999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16547818--0.16528643) × cos(-0.56335466) × R
    0.000191749999999991 × 0.845468397873494 × 6371000     		do = 1032.85737947683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16547818--0.16528643) × cos(-0.56351677) × R
    0.000191749999999991 × 0.845381815897811 × 6371000     		du = 1032.75160753699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56335466)-sin(-0.56351677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845468397873494-0.845381815897811)×R²
    abs(-0.16528643--0.16547818)×8.65819756827868e-05×R²
    0.000191749999999991×8.65819756827868e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.65819756827868e-05×40589641000000     		ar = 1066683.38540993m²