Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15520 / 8760
↖ ↑ ↗
← N 63.898731°
W  9.492188°		 ← 537.47 m → N 63.898731°
W  9.481201°		 →
↑
537.52 m
↓
↑
537.52 m
↓
N 63.893897°
W  9.492188°		 ← 537.56 m →
288 927 m²		 N 63.893897°
W  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473648071289062 y=0.267349243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473648071289062 × 215)
    floor (0.473648071289062 × 32768)
    floor (15520.5)     		tx = 15520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267349243164062 × 215)
    floor (0.267349243164062 × 32768)
    floor (8760.5)     		ty = 8760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15520 / 8760 ti = "15/15520/8760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15520/8760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15520 ÷ 215
    15520 ÷ 32768     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8760 ÷ 215
    8760 ÷ 32768     		y = 0.267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46188369081323))-π/2
    2×atan(4.31407826894881)-π/2
    2×1.34301978367404-π/2
    2.68603956734808-1.57079632675     		φ = 1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15520 KachelY 8760 -0.16566993 1.11524324 -9.492188 63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 15521 KachelY 8760 -0.16547818 1.11524324 -9.481201 63.898731
    Unten links KachelX 15520 KachelY + 1 8761 -0.16566993 1.11515887 -9.492188 63.893897
    Unten rechts KachelX + 1 15521 KachelY + 1 8761 -0.16547818 1.11515887 -9.481201 63.893897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11524324-1.11515887) × R
    8.43700000001668e-05 × 6371000     		dl = 537.521270001063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11524324-1.11515887) × R
    8.43700000001668e-05 × 6371000     		dr = 537.521270001063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16547818) × cos(1.11524324) × R
    0.000191749999999991 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 537.471259603393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16547818) × cos(1.11515887) × R
    0.000191749999999991 × 0.440034827075068 × 6371000     		du = 537.56381612184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11524324)-sin(1.11515887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.440034827075068)×R²
    abs(-0.16547818--0.16566993)×7.57641983474833e-05×R²
    0.000191749999999991×7.57641983474833e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.57641983474833e-05×40589641000000     		ar = 288927.109771297m²