Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15520 / 19489
↖ ↑ ↗
← S 32.259266°
W  9.492188°		 ← 1 033.07 m → S 32.259266°
W  9.481201°		 →
↑
1 032.99 m
↓
↑
1 032.99 m
↓
S 32.268556°
W  9.492188°		 ← 1 032.96 m →
1 067 099 m²		 S 32.268556°
W  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473648071289062 y=0.594772338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473648071289062 × 215)
    floor (0.473648071289062 × 32768)
    floor (15520.5)     		tx = 15520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594772338867188 × 215)
    floor (0.594772338867188 × 32768)
    floor (19489.5)     		ty = 19489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15520 / 19489 ti = "15/15520/19489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15520/19489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15520 ÷ 215
    15520 ÷ 32768     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19489 ÷ 215
    19489 ÷ 32768     		y = 0.594757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.18951416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.595376293281097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595376293281097))-π/2
    2×atan(0.551355055624992)-π/2
    2×0.503882965421399-π/2
    1.0077659308428-1.57079632675     		φ = -0.56303040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56303040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.259266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15520 KachelY 19489 -0.16566993 -0.56303040 -9.492188 -32.259266
    Oben rechts KachelX + 1 15521 KachelY 19489 -0.16547818 -0.56303040 -9.481201 -32.259266
    Unten links KachelX 15520 KachelY + 1 19490 -0.16566993 -0.56319254 -9.492188 -32.268556
    Unten rechts KachelX + 1 15521 KachelY + 1 19490 -0.16547818 -0.56319254 -9.481201 -32.268556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56303040--0.56319254) × R
    0.000162139999999922 × 6371000     		dl = 1032.9939399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56303040--0.56319254) × R
    0.000162139999999922 × 6371000     		dr = 1032.9939399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16547818) × cos(-0.56303040) × R
    0.000191749999999991 × 0.84564151651679 × 6371000     		do = 1033.06886800638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16547818) × cos(-0.56319254) × R
    0.000191749999999991 × 0.845554962969445 × 6371000     		du = 1032.96313079572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56303040)-sin(-0.56319254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84564151651679-0.845554962969445)×R²
    abs(-0.16547818--0.16566993)×8.65535473452139e-05×R²
    0.000191749999999991×8.65535473452139e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.65535473452139e-05×40589641000000     		ar = 1067099.26964132m²