Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15519 / 8770
↖ ↑ ↗
← N 63.850354°
W  9.503174°		 ← 538.37 m → N 63.850354°
W  9.492188°		 →
↑
538.41 m
↓
↑
538.41 m
↓
N 63.845512°
W  9.503174°		 ← 538.46 m →
289 890 m²		 N 63.845512°
W  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473617553710938 y=0.267654418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473617553710938 × 215)
    floor (0.473617553710938 × 32768)
    floor (15519.5)     		tx = 15519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267654418945312 × 215)
    floor (0.267654418945312 × 32768)
    floor (8770.5)     		ty = 8770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15519 / 8770 ti = "15/15519/8770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15519/8770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15519 ÷ 215
    15519 ÷ 32768     		x = 0.473602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8770 ÷ 215
    8770 ÷ 32768     		y = 0.26763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.05279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16586167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26763916015625 × 2 - 1) × π
    0.4647216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45996621482843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16586167} λ = -0.16586167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45996621482843))-π/2
    2×atan(4.30581405322123)-π/2
    2×1.3425976148882-π/2
    2.68519522977639-1.57079632675     		φ = 1.11439890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16586167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11439890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.850354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15519 KachelY 8770 -0.16586167 1.11439890 -9.503174 63.850354
    Oben rechts KachelX + 1 15520 KachelY 8770 -0.16566993 1.11439890 -9.492188 63.850354
    Unten links KachelX 15519 KachelY + 1 8771 -0.16586167 1.11431439 -9.503174 63.845512
    Unten rechts KachelX + 1 15520 KachelY + 1 8771 -0.16566993 1.11431439 -9.492188 63.845512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11439890-1.11431439) × R
    8.45099999999821e-05 × 6371000     		dl = 538.413209999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11439890-1.11431439) × R
    8.45099999999821e-05 × 6371000     		dr = 538.413209999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16586167--0.16566993) × cos(1.11439890) × R
    0.000191739999999996 × 0.440717138335602 × 6371000     		do = 538.369276249556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16586167--0.16566993) × cos(1.11431439) × R
    0.000191739999999996 × 0.440792996828134 × 6371000     		du = 538.461943128534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11439890)-sin(1.11431439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440717138335602-0.440792996828134)×R²
    abs(-0.16566993--0.16586167)×7.58584925316663e-05×R²
    0.000191739999999996×7.58584925316663e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.58584925316663e-05×40589641000000     		ar = 289890.076899587m²