Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15519 / 8761
↖ ↑ ↗
← N 63.893897°
W  9.503174°		 ← 537.54 m → N 63.893897°
W  9.492188°		 →
↑
537.58 m
↓
↑
537.58 m
↓
N 63.889062°
W  9.503174°		 ← 537.63 m →
288 996 m²		 N 63.889062°
W  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473617553710938 y=0.267379760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473617553710938 × 215)
    floor (0.473617553710938 × 32768)
    floor (15519.5)     		tx = 15519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267379760742188 × 215)
    floor (0.267379760742188 × 32768)
    floor (8761.5)     		ty = 8761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15519 / 8761 ti = "15/15519/8761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15519/8761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15519 ÷ 215
    15519 ÷ 32768     		x = 0.473602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8761 ÷ 215
    8761 ÷ 32768     		y = 0.267364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.05279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16586167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267364501953125 × 2 - 1) × π
    0.46527099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46169194321475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16586167} λ = -0.16586167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46169194321475))-π/2
    2×atan(4.31325113410418)-π/2
    2×1.34297759949547-π/2
    2.68595519899094-1.57079632675     		φ = 1.11515887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16586167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11515887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.893897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15519 KachelY 8761 -0.16586167 1.11515887 -9.503174 63.893897
    Oben rechts KachelX + 1 15520 KachelY 8761 -0.16566993 1.11515887 -9.492188 63.893897
    Unten links KachelX 15519 KachelY + 1 8762 -0.16586167 1.11507449 -9.503174 63.889062
    Unten rechts KachelX + 1 15520 KachelY + 1 8762 -0.16566993 1.11507449 -9.492188 63.889062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11515887-1.11507449) × R
    8.4379999999884e-05 × 6371000     		dl = 537.584979999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11515887-1.11507449) × R
    8.4379999999884e-05 × 6371000     		dr = 537.584979999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16586167--0.16566993) × cos(1.11515887) × R
    0.000191739999999996 × 0.440034827075068 × 6371000     		do = 537.535781503021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16586167--0.16566993) × cos(1.11507449) × R
    0.000191739999999996 × 0.440110597120553 × 6371000     		du = 537.62834033725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11515887)-sin(1.11507449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440034827075068-0.440110597120553)×R²
    abs(-0.16566993--0.16586167)×7.57700454844801e-05×R²
    0.000191739999999996×7.57700454844801e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.57700454844801e-05×40589641000000     		ar = 288996.041638687m²