Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15519 / 8609
↖ ↑ ↗
← N 64.619168°
W  9.503174°		 ← 523.61 m → N 64.619168°
W  9.492188°		 →
↑
523.70 m
↓
↑
523.70 m
↓
N 64.614459°
W  9.503174°		 ← 523.70 m →
274 235 m²		 N 64.614459°
W  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473617553710938 y=0.262741088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473617553710938 × 215)
    floor (0.473617553710938 × 32768)
    floor (15519.5)     		tx = 15519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262741088867188 × 215)
    floor (0.262741088867188 × 32768)
    floor (8609.5)     		ty = 8609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15519 / 8609 ti = "15/15519/8609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15519/8609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15519 ÷ 215
    15519 ÷ 32768     		x = 0.473602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8609 ÷ 215
    8609 ÷ 32768     		y = 0.262725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.05279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16586167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262725830078125 × 2 - 1) × π
    0.47454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49083757818375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16586167} λ = -0.16586167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49083757818375))-π/2
    2×atan(4.44081349023802)-π/2
    2×1.34930678857373-π/2
    2.69861357714745-1.57079632675     		φ = 1.12781725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16586167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12781725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.619168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15519 KachelY 8609 -0.16586167 1.12781725 -9.503174 64.619168
    Oben rechts KachelX + 1 15520 KachelY 8609 -0.16566993 1.12781725 -9.492188 64.619168
    Unten links KachelX 15519 KachelY + 1 8610 -0.16586167 1.12773505 -9.503174 64.614459
    Unten rechts KachelX + 1 15520 KachelY + 1 8610 -0.16566993 1.12773505 -9.492188 64.614459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12781725-1.12773505) × R
    8.22000000000322e-05 × 6371000     		dl = 523.696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12781725-1.12773505) × R
    8.22000000000322e-05 × 6371000     		dr = 523.696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16586167--0.16566993) × cos(1.12781725) × R
    0.000191739999999996 × 0.428632895680883 × 6371000     		do = 523.607461003126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16586167--0.16566993) × cos(1.12773505) × R
    0.000191739999999996 × 0.428707160185448 × 6371000     		du = 523.698180705394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12781725)-sin(1.12773505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428632895680883-0.428707160185448)×R²
    abs(-0.16566993--0.16586167)×7.42645045657686e-05×R²
    0.000191739999999996×7.42645045657686e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.42645045657686e-05×40589641000000     		ar = 274234.992555462m²