Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15518 / 3253
↖ ↑ ↗
← N 72.887337°
E160.971680°		 ← 718.94 m → N 72.887337°
E160.993652°		 →
↑
719.03 m
↓
↑
719.03 m
↓
N 72.880871°
E160.971680°		 ← 719.20 m →
517 034 m²		 N 72.880871°
E160.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947174072265625 y=0.198577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947174072265625 × 214)
    floor (0.947174072265625 × 16384)
    floor (15518.5)     		tx = 15518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198577880859375 × 214)
    floor (0.198577880859375 × 16384)
    floor (3253.5)     		ty = 3253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15518 / 3253 ti = "14/15518/3253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15518/3253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15518 ÷ 214
    15518 ÷ 16384     		x = 0.9471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3253 ÷ 214
    3253 ÷ 16384     		y = 0.19854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9471435546875 × 2 - 1) × π
    0.894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80948581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19854736328125 × 2 - 1) × π
    0.6029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89408277778766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80948581} λ = 2.80948581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89408277778766))-π/2
    2×atan(6.64644933699522)-π/2
    2×1.42146017571958-π/2
    2.84292035143915-1.57079632675     		φ = 1.27212402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80948581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27212402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.887337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15518 KachelY 3253 2.80948581 1.27212402 160.971680 72.887337
    Oben rechts KachelX + 1 15519 KachelY 3253 2.80986931 1.27212402 160.993652 72.887337
    Unten links KachelX 15518 KachelY + 1 3254 2.80948581 1.27201116 160.971680 72.880871
    Unten rechts KachelX + 1 15519 KachelY + 1 3254 2.80986931 1.27201116 160.993652 72.880871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27212402-1.27201116) × R
    0.000112859999999992 × 6371000     		dl = 719.031059999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27212402-1.27201116) × R
    0.000112859999999992 × 6371000     		dr = 719.031059999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80948581-2.80986931) × cos(1.27212402) × R
    0.00038349999999987 × 0.29425155280186 × 6371000     		do = 718.938492552156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80948581-2.80986931) × cos(1.27201116) × R
    0.00038349999999987 × 0.294359414390522 × 6371000     		du = 719.20202845271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27212402)-sin(1.27201116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29425155280186-0.294359414390522)×R²
    abs(2.80986931-2.80948581)×0.000107861588662439×R²
    0.00038349999999987×0.000107861588662439×6371000²
    0.00038349999999987×0.000107861588662439×40589641000000     		ar = 517033.852172227m²