Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15518 / 10913
↖ ↑ ↗
← N 75.972222°
W 94.757080°		 ← 148.07 m → N 75.972222°
W 94.751587°		 →
↑
148.06 m
↓
↑
148.06 m
↓
N 75.970890°
W 94.757080°		 ← 148.08 m →
21 924 m²		 N 75.970890°
W 94.751587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.236793518066406 y=0.166526794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.236793518066406 × 216)
    floor (0.236793518066406 × 65536)
    floor (15518.5)     		tx = 15518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166526794433594 × 216)
    floor (0.166526794433594 × 65536)
    floor (10913.5)     		ty = 10913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15518 / 10913 ti = "16/15518/10913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15518/10913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15518 ÷ 216
    15518 ÷ 65536     		x = 0.236785888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10913 ÷ 216
    10913 ÷ 65536     		y = 0.166519165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.236785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.52642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.65382304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166519165039062 × 2 - 1) × π
    0.666961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09532188239265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.65382304} λ = -1.65382304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09532188239265))-π/2
    2×atan(8.12805682757012)-π/2
    2×1.44838086613345-π/2
    2.89676173226689-1.57079632675     		φ = 1.32596541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.65382304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.757080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32596541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.972222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15518 KachelY 10913 -1.65382304 1.32596541 -94.757080 75.972222
    Oben rechts KachelX + 1 15519 KachelY 10913 -1.65372716 1.32596541 -94.751587 75.972222
    Unten links KachelX 15518 KachelY + 1 10914 -1.65382304 1.32594217 -94.757080 75.970890
    Unten rechts KachelX + 1 15519 KachelY + 1 10914 -1.65372716 1.32594217 -94.751587 75.970890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32596541-1.32594217) × R
    2.32399999999799e-05 × 6371000     		dl = 148.062039999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32596541-1.32594217) × R
    2.32399999999799e-05 × 6371000     		dr = 148.062039999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.65382304--1.65372716) × cos(1.32596541) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.24239228739382 × 6371000     		do = 148.065687495003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.65382304--1.65372716) × cos(1.32594217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.242414834272593 × 6371000     		du = 148.079460289271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32596541)-sin(1.32594217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24239228739382-0.242414834272593)×R²
    abs(-1.65372716--1.65382304)×2.25468787738159e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.25468787738159e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.25468787738159e-05×40589641000000     		ar = 21923.9273595944m²