Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15517 / 3245
↖ ↑ ↗
← N 72.938985°
E160.949707°		 ← 716.81 m → N 72.938985°
E160.971680°		 →
↑
716.93 m
↓
↑
716.93 m
↓
N 72.932538°
E160.949707°		 ← 717.08 m →
513 999 m²		 N 72.932538°
E160.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947113037109375 y=0.198089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947113037109375 × 214)
    floor (0.947113037109375 × 16384)
    floor (15517.5)     		tx = 15517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198089599609375 × 214)
    floor (0.198089599609375 × 16384)
    floor (3245.5)     		ty = 3245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15517 / 3245 ti = "14/15517/3245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15517/3245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15517 ÷ 214
    15517 ÷ 16384     		x = 0.94708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3245 ÷ 214
    3245 ÷ 16384     		y = 0.19805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94708251953125 × 2 - 1) × π
    0.8941650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80910232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19805908203125 × 2 - 1) × π
    0.6038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89715073936334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80910232} λ = 2.80910232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89715073936334))-π/2
    2×atan(6.66687169966923)-π/2
    2×1.42191089077836-π/2
    2.84382178155672-1.57079632675     		φ = 1.27302545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80910232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27302545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.938985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15517 KachelY 3245 2.80910232 1.27302545 160.949707 72.938985
    Oben rechts KachelX + 1 15518 KachelY 3245 2.80948581 1.27302545 160.971680 72.938985
    Unten links KachelX 15517 KachelY + 1 3246 2.80910232 1.27291292 160.949707 72.932538
    Unten rechts KachelX + 1 15518 KachelY + 1 3246 2.80948581 1.27291292 160.971680 72.932538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27302545-1.27291292) × R
    0.00011253 × 6371000     		dl = 716.928629999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27302545-1.27291292) × R
    0.00011253 × 6371000     		dr = 716.928629999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80910232-2.80948581) × cos(1.27302545) × R
    0.000383489999999931 × 0.293389911470166 × 6371000     		do = 716.814570940571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80910232-2.80948581) × cos(1.27291292) × R
    0.000383489999999931 × 0.293497487489552 × 6371000     		du = 717.077402262184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27302545)-sin(1.27291292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293389911470166-0.293497487489552)×R²
    abs(2.80948581-2.80910232)×0.00010757601938588×R²
    0.000383489999999931×0.00010757601938588×6371000²
    0.000383489999999931×0.00010757601938588×40589641000000     		ar = 513999.104502016m²