Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15517 / 18662
↖ ↑ ↗
← S 24.266997°
W  9.525147°		 ← 1 113.70 m → S 24.266997°
W  9.514160°		 →
↑
1 113.65 m
↓
↑
1 113.65 m
↓
S 24.277012°
W  9.525147°		 ← 1 113.61 m →
1 240 219 m²		 S 24.277012°
W  9.514160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473556518554688 y=0.569534301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473556518554688 × 215)
    floor (0.473556518554688 × 32768)
    floor (15517.5)     		tx = 15517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569534301757812 × 215)
    floor (0.569534301757812 × 32768)
    floor (18662.5)     		ty = 18662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15517 / 18662 ti = "15/15517/18662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15517/18662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15517 ÷ 215
    15517 ÷ 32768     		x = 0.473541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18662 ÷ 215
    18662 ÷ 32768     		y = 0.56951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473541259765625 × 2 - 1) × π
    -0.05291748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16624517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56951904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1390380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.436801029337952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16624517} λ = -0.16624517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.436801029337952))-π/2
    2×atan(0.646099973561631)-π/2
    2×0.573628662275423-π/2
    1.14725732455085-1.57079632675     		φ = -0.42353900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16624517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.525147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42353900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.266997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15517 KachelY 18662 -0.16624517 -0.42353900 -9.525147 -24.266997
    Oben rechts KachelX + 1 15518 KachelY 18662 -0.16605342 -0.42353900 -9.514160 -24.266997
    Unten links KachelX 15517 KachelY + 1 18663 -0.16624517 -0.42371380 -9.525147 -24.277012
    Unten rechts KachelX + 1 15518 KachelY + 1 18663 -0.16605342 -0.42371380 -9.514160 -24.277012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42353900--0.42371380) × R
    0.000174799999999975 × 6371000     		dl = 1113.65079999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42353900--0.42371380) × R
    0.000174799999999975 × 6371000     		dr = 1113.65079999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16624517--0.16605342) × cos(-0.42353900) × R
    0.000191749999999991 × 0.911640161086374 × 6371000     		do = 1113.69540265938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16624517--0.16605342) × cos(-0.42371380) × R
    0.000191749999999991 × 0.911568306226952 × 6371000     		du = 1113.60762194281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42353900)-sin(-0.42371380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911640161086374-0.911568306226952)×R²
    abs(-0.16605342--0.16624517)×7.18548594225155e-05×R²
    0.000191749999999991×7.18548594225155e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.18548594225155e-05×40589641000000     		ar = 1240218.90075304m²