Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15516 / 8576
↖ ↑ ↗
← N 64.774125°
W  9.536133°		 ← 520.65 m → N 64.774125°
W  9.525147°		 →
↑
520.70 m
↓
↑
520.70 m
↓
N 64.769443°
W  9.536133°		 ← 520.74 m →
271 126 m²		 N 64.769443°
W  9.525147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473526000976562 y=0.261734008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473526000976562 × 215)
    floor (0.473526000976562 × 32768)
    floor (15516.5)     		tx = 15516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261734008789062 × 215)
    floor (0.261734008789062 × 32768)
    floor (8576.5)     		ty = 8576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15516 / 8576 ti = "15/15516/8576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15516/8576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15516 ÷ 215
    15516 ÷ 32768     		x = 0.4735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8576 ÷ 215
    8576 ÷ 32768     		y = 0.26171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26171875 × 2 - 1) × π
    0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16643692} λ = -0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49716524893359))-π/2
    2×atan(4.46900258747256)-π/2
    2×1.35065904179333-π/2
    2.70131808358667-1.57079632675     		φ = 1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15516 KachelY 8576 -0.16643692 1.13052176 -9.536133 64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 15517 KachelY 8576 -0.16624517 1.13052176 -9.525147 64.774125
    Unten links KachelX 15516 KachelY + 1 8577 -0.16643692 1.13044003 -9.536133 64.769443
    Unten rechts KachelX + 1 15517 KachelY + 1 8577 -0.16624517 1.13044003 -9.525147 64.769443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13052176-1.13044003) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dl = 520.701830000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13052176-1.13044003) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dr = 520.701830000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16643692--0.16624517) × cos(1.13052176) × R
    0.000191749999999991 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 520.647822257616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16643692--0.16624517) × cos(1.13044003) × R
    0.000191749999999991 × 0.426261798141007 × 6371000     		du = 520.738143384606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13052176)-sin(1.13044003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.426261798141007)×R²
    abs(-0.16624517--0.16643692)×7.39343689139527e-05×R²
    0.000191749999999991×7.39343689139527e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.39343689139527e-05×40589641000000     		ar = 271125.789173919m²