Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15516 / 3248
↖ ↑ ↗
← N 72.919636°
E160.927734°		 ← 717.62 m → N 72.919636°
E160.949707°		 →
↑
717.76 m
↓
↑
717.76 m
↓
N 72.913181°
E160.927734°		 ← 717.89 m →
515 173 m²		 N 72.913181°
E160.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947052001953125 y=0.198272705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947052001953125 × 214)
    floor (0.947052001953125 × 16384)
    floor (15516.5)     		tx = 15516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198272705078125 × 214)
    floor (0.198272705078125 × 16384)
    floor (3248.5)     		ty = 3248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15516 / 3248 ti = "14/15516/3248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15516/3248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15516 ÷ 214
    15516 ÷ 16384     		x = 0.947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3248 ÷ 214
    3248 ÷ 16384     		y = 0.1982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947021484375 × 2 - 1) × π
    0.89404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80871882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1982421875 × 2 - 1) × π
    0.603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89600025377246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80871882} λ = 2.80871882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89600025377246))-π/2
    2×atan(6.65920597034362)-π/2
    2×1.42174202750574-π/2
    2.84348405501148-1.57079632675     		φ = 1.27268773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80871882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27268773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.919636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15516 KachelY 3248 2.80871882 1.27268773 160.927734 72.919636
    Oben rechts KachelX + 1 15517 KachelY 3248 2.80910232 1.27268773 160.949707 72.919636
    Unten links KachelX 15516 KachelY + 1 3249 2.80871882 1.27257507 160.927734 72.913181
    Unten rechts KachelX + 1 15517 KachelY + 1 3249 2.80910232 1.27257507 160.949707 72.913181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27268773-1.27257507) × R
    0.000112659999999876 × 6371000     		dl = 717.756859999208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27268773-1.27257507) × R
    0.000112659999999876 × 6371000     		dr = 717.756859999208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80871882-2.80910232) × cos(1.27268773) × R
    0.00038349999999987 × 0.293712752643472 × 6371000     		do = 717.622053709369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80871882-2.80910232) × cos(1.27257507) × R
    0.00038349999999987 × 0.293820441766681 × 6371000     		du = 717.885168228791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27268773)-sin(1.27257507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293712752643472-0.293820441766681)×R²
    abs(2.80910232-2.80871882)×0.000107689123209576×R²
    0.00038349999999987×0.000107689123209576×6371000²
    0.00038349999999987×0.000107689123209576×40589641000000     		ar = 515172.578608816m²