Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15516 / 3246
↖ ↑ ↗
← N 72.932538°
E160.927734°		 ← 717.10 m → N 72.932538°
E160.949707°		 →
↑
717.18 m
↓
↑
717.18 m
↓
N 72.926088°
E160.927734°		 ← 717.36 m →
514 384 m²		 N 72.926088°
E160.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947052001953125 y=0.198150634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947052001953125 × 214)
    floor (0.947052001953125 × 16384)
    floor (15516.5)     		tx = 15516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198150634765625 × 214)
    floor (0.198150634765625 × 16384)
    floor (3246.5)     		ty = 3246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15516 / 3246 ti = "14/15516/3246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15516/3246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15516 ÷ 214
    15516 ÷ 16384     		x = 0.947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3246 ÷ 214
    3246 ÷ 16384     		y = 0.1981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947021484375 × 2 - 1) × π
    0.89404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80871882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1981201171875 × 2 - 1) × π
    0.603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89676724416638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80871882} λ = 2.80871882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89676724416638))-π/2
    2×atan(6.66431547657463)-π/2
    2×1.42185462365475-π/2
    2.8437092473095-1.57079632675     		φ = 1.27291292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80871882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27291292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.932538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15516 KachelY 3246 2.80871882 1.27291292 160.927734 72.932538
    Oben rechts KachelX + 1 15517 KachelY 3246 2.80910232 1.27291292 160.949707 72.932538
    Unten links KachelX 15516 KachelY + 1 3247 2.80871882 1.27280035 160.927734 72.926088
    Unten rechts KachelX + 1 15517 KachelY + 1 3247 2.80910232 1.27280035 160.949707 72.926088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27291292-1.27280035) × R
    0.000112569999999979 × 6371000     		dl = 717.183469999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27291292-1.27280035) × R
    0.000112569999999979 × 6371000     		dr = 717.183469999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80871882-2.80910232) × cos(1.27291292) × R
    0.00038349999999987 × 0.293497487489552 × 6371000     		do = 717.096100986998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80871882-2.80910232) × cos(1.27280035) × R
    0.00038349999999987 × 0.293605098029451 × 6371000     		du = 717.359023505507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27291292)-sin(1.27280035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293497487489552-0.293605098029451)×R²
    abs(2.80910232-2.80871882)×0.000107610539899106×R²
    0.00038349999999987×0.000107610539899106×6371000²
    0.00038349999999987×0.000107610539899106×40589641000000     		ar = 514383.752413567m²