Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15516 / 18659
↖ ↑ ↗
← S 24.236947°
W  9.536133°		 ← 1 113.96 m → S 24.236947°
W  9.525147°		 →
↑
1 113.91 m
↓
↑
1 113.91 m
↓
S 24.246965°
W  9.536133°		 ← 1 113.87 m →
1 240 796 m²		 S 24.246965°
W  9.525147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473526000976562 y=0.569442749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473526000976562 × 215)
    floor (0.473526000976562 × 32768)
    floor (15516.5)     		tx = 15516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569442749023438 × 215)
    floor (0.569442749023438 × 32768)
    floor (18659.5)     		ty = 18659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15516 / 18659 ti = "15/15516/18659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15516/18659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15516 ÷ 215
    15516 ÷ 32768     		x = 0.4735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18659 ÷ 215
    18659 ÷ 32768     		y = 0.569427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.13885498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.436225786542511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16643692} λ = -0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.436225786542511))-π/2
    2×atan(0.646471744835678)-π/2
    2×0.573890900478265-π/2
    1.14778180095653-1.57079632675     		φ = -0.42301453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42301453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.236947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15516 KachelY 18659 -0.16643692 -0.42301453 -9.536133 -24.236947
    Oben rechts KachelX + 1 15517 KachelY 18659 -0.16624517 -0.42301453 -9.525147 -24.236947
    Unten links KachelX 15516 KachelY + 1 18660 -0.16643692 -0.42318937 -9.536133 -24.246965
    Unten rechts KachelX + 1 15517 KachelY + 1 18660 -0.16624517 -0.42318937 -9.525147 -24.246965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42301453--0.42318937) × R
    0.000174840000000009 × 6371000     		dl = 1113.90564000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42301453--0.42318937) × R
    0.000174840000000009 × 6371000     		dr = 1113.90564000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16643692--0.16624517) × cos(-0.42301453) × R
    0.000191749999999991 × 0.911855587260436 × 6371000     		do = 1113.95857572909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16643692--0.16624517) × cos(-0.42318937) × R
    0.000191749999999991 × 0.911783799557537 × 6371000     		du = 1113.87087705356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42301453)-sin(-0.42318937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911855587260436-0.911783799557537)×R²
    abs(-0.16624517--0.16643692)×7.17877028991731e-05×R²
    0.000191749999999991×7.17877028991731e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.17877028991731e-05×40589641000000     		ar = 1240795.89936725m²