Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15514 / 8608
↖ ↑ ↗
← N 64.623877°
W  9.558105°		 ← 523.54 m → N 64.623877°
W  9.547119°		 →
↑
523.57 m
↓
↑
523.57 m
↓
N 64.619168°
W  9.558105°		 ← 523.63 m →
274 135 m²		 N 64.619168°
W  9.547119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473464965820312 y=0.262710571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473464965820312 × 215)
    floor (0.473464965820312 × 32768)
    floor (15514.5)     		tx = 15514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262710571289062 × 215)
    floor (0.262710571289062 × 32768)
    floor (8608.5)     		ty = 8608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15514 / 8608 ti = "15/15514/8608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15514/8608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15514 ÷ 215
    15514 ÷ 32768     		x = 0.47344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8608 ÷ 215
    8608 ÷ 32768     		y = 0.2626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.0531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16682041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    0.474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49102932578223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16682041} λ = -0.16682041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49102932578223))-π/2
    2×atan(4.4416650872033)-π/2
    2×1.34934787967843-π/2
    2.69869575935685-1.57079632675     		φ = 1.12789943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16682041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12789943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.623877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15514 KachelY 8608 -0.16682041 1.12789943 -9.558105 64.623877
    Oben rechts KachelX + 1 15515 KachelY 8608 -0.16662866 1.12789943 -9.547119 64.623877
    Unten links KachelX 15514 KachelY + 1 8609 -0.16682041 1.12781725 -9.558105 64.619168
    Unten rechts KachelX + 1 15515 KachelY + 1 8609 -0.16662866 1.12781725 -9.547119 64.619168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12789943-1.12781725) × R
    8.21799999999318e-05 × 6371000     		dl = 523.568779999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12789943-1.12781725) × R
    8.21799999999318e-05 × 6371000     		dr = 523.568779999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16682041--0.16662866) × cos(1.12789943) × R
    0.000191749999999991 × 0.428558646350392 × 6371000     		do = 523.544063308483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16682041--0.16662866) × cos(1.12781725) × R
    0.000191749999999991 × 0.428632895680883 × 6371000     		du = 523.634769204896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12789943)-sin(1.12781725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428558646350392-0.428632895680883)×R²
    abs(-0.16662866--0.16682041)×7.4249330490217e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4249330490217e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4249330490217e-05×40589641000000     		ar = 274135.072044754m²