Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15513 / 8783
↖ ↑ ↗
← N 63.787339°
W  9.569092°		 ← 539.60 m → N 63.787339°
W  9.558105°		 →
↑
539.62 m
↓
↑
539.62 m
↓
N 63.782486°
W  9.569092°		 ← 539.70 m →
291 208 m²		 N 63.782486°
W  9.558105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473434448242188 y=0.268051147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473434448242188 × 215)
    floor (0.473434448242188 × 32768)
    floor (15513.5)     		tx = 15513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268051147460938 × 215)
    floor (0.268051147460938 × 32768)
    floor (8783.5)     		ty = 8783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15513 / 8783 ti = "15/15513/8783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15513/8783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15513 ÷ 215
    15513 ÷ 32768     		x = 0.473419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8783 ÷ 215
    8783 ÷ 32768     		y = 0.268035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.05316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16701216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268035888671875 × 2 - 1) × π
    0.46392822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45747349604819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16701216} λ = -0.16701216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45747349604819))-π/2
    2×atan(4.2950942359622)-π/2
    2×1.34204770805787-π/2
    2.68409541611574-1.57079632675     		φ = 1.11329909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16701216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.569092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11329909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.787339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15513 KachelY 8783 -0.16701216 1.11329909 -9.569092 63.787339
    Oben rechts KachelX + 1 15514 KachelY 8783 -0.16682041 1.11329909 -9.558105 63.787339
    Unten links KachelX 15513 KachelY + 1 8784 -0.16701216 1.11321439 -9.569092 63.782486
    Unten rechts KachelX + 1 15514 KachelY + 1 8784 -0.16682041 1.11321439 -9.558105 63.782486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11329909-1.11321439) × R
    8.46999999999376e-05 × 6371000     		dl = 539.623699999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11329909-1.11321439) × R
    8.46999999999376e-05 × 6371000     		dr = 539.623699999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16701216--0.16682041) × cos(1.11329909) × R
    0.000191749999999991 × 0.441704111680485 × 6371000     		do = 539.603079715237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16701216--0.16682041) × cos(1.11321439) × R
    0.000191749999999991 × 0.44178009961464 × 6371000     		du = 539.695909558127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11329909)-sin(1.11321439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441704111680485-0.44178009961464)×R²
    abs(-0.16682041--0.16701216)×7.59879341551972e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59879341551972e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59879341551972e-05×40589641000000     		ar = 291207.657173036m²