Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15512 / 8617
↖ ↑ ↗
← N 64.581470°
W  9.580078°		 ← 524.36 m → N 64.581470°
W  9.569092°		 →
↑
524.40 m
↓
↑
524.40 m
↓
N 64.576754°
W  9.580078°		 ← 524.45 m →
274 997 m²		 N 64.576754°
W  9.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473403930664062 y=0.262985229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473403930664062 × 215)
    floor (0.473403930664062 × 32768)
    floor (15512.5)     		tx = 15512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262985229492188 × 215)
    floor (0.262985229492188 × 32768)
    floor (8617.5)     		ty = 8617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15512 / 8617 ti = "15/15512/8617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15512/8617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15512 ÷ 215
    15512 ÷ 32768     		x = 0.473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8617 ÷ 215
    8617 ÷ 32768     		y = 0.262969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.05322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16720391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262969970703125 × 2 - 1) × π
    0.47406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4893035973959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16720391} λ = -0.16720391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4893035973959))-π/2
    2×atan(4.43400658982361)-π/2
    2×1.3489778033634-π/2
    2.69795560672681-1.57079632675     		φ = 1.12715928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16720391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12715928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.581470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15512 KachelY 8617 -0.16720391 1.12715928 -9.580078 64.581470
    Oben rechts KachelX + 1 15513 KachelY 8617 -0.16701216 1.12715928 -9.569092 64.581470
    Unten links KachelX 15512 KachelY + 1 8618 -0.16720391 1.12707697 -9.580078 64.576754
    Unten rechts KachelX + 1 15513 KachelY + 1 8618 -0.16701216 1.12707697 -9.569092 64.576754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12715928-1.12707697) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dl = 524.39701000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12715928-1.12707697) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dr = 524.39701000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16720391--0.16701216) × cos(1.12715928) × R
    0.000191750000000018 × 0.429227264764294 × 6371000     		do = 524.360873806253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16720391--0.16701216) × cos(1.12707697) × R
    0.000191750000000018 × 0.429301605415843 × 6371000     		du = 524.451691264057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12715928)-sin(1.12707697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429227264764294-0.429301605415843)×R²
    abs(-0.16701216--0.16720391)×7.43406515493761e-05×R²
    0.000191750000000018×7.43406515493761e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.43406515493761e-05×40589641000000     		ar = 274997.086741311m²