Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15512 / 3252
↖ ↑ ↗
← N 72.893802°
E160.839844°		 ← 718.68 m → N 72.893802°
E160.861817°		 →
↑
718.84 m
↓
↑
718.84 m
↓
N 72.887337°
E160.839844°		 ← 718.94 m →
516 707 m²		 N 72.887337°
E160.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946807861328125 y=0.198516845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946807861328125 × 214)
    floor (0.946807861328125 × 16384)
    floor (15512.5)     		tx = 15512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198516845703125 × 214)
    floor (0.198516845703125 × 16384)
    floor (3252.5)     		ty = 3252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15512 / 3252 ti = "14/15512/3252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15512/3252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15512 ÷ 214
    15512 ÷ 16384     		x = 0.94677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3252 ÷ 214
    3252 ÷ 16384     		y = 0.198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94677734375 × 2 - 1) × π
    0.8935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80718484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198486328125 × 2 - 1) × π
    0.60302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80718484} λ = 2.80718484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89446627298462))-π/2
    2×atan(6.64899870719716)-π/2
    2×1.42151658740865-π/2
    2.8430331748173-1.57079632675     		φ = 1.27223685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80718484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27223685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.893802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15512 KachelY 3252 2.80718484 1.27223685 160.839844 72.893802
    Oben rechts KachelX + 1 15513 KachelY 3252 2.80756834 1.27223685 160.861817 72.893802
    Unten links KachelX 15512 KachelY + 1 3253 2.80718484 1.27212402 160.839844 72.887337
    Unten rechts KachelX + 1 15513 KachelY + 1 3253 2.80756834 1.27212402 160.861817 72.887337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27223685-1.27212402) × R
    0.000112830000000175 × 6371000     		dl = 718.839930001113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27223685-1.27212402) × R
    0.000112830000000175 × 6371000     		dr = 718.839930001113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80718484-2.80756834) × cos(1.27223685) × R
    0.00038349999999987 × 0.29414371613804 × 6371000     		do = 718.675017549932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80718484-2.80756834) × cos(1.27212402) × R
    0.00038349999999987 × 0.29425155280186 × 6371000     		du = 718.938492552156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27223685)-sin(1.27212402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29414371613804-0.29425155280186)×R²
    abs(2.80756834-2.80718484)×0.000107836663820193×R²
    0.00038349999999987×0.000107836663820193×6371000²
    0.00038349999999987×0.000107836663820193×40589641000000     		ar = 516706.998033404m²