Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15510 / 3254
↖ ↑ ↗
← N 72.880871°
E160.795898°		 ← 719.20 m → N 72.880871°
E160.817871°		 →
↑
719.35 m
↓
↑
719.35 m
↓
N 72.874402°
E160.795898°		 ← 719.47 m →
517 453 m²		 N 72.874402°
E160.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946685791015625 y=0.198638916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946685791015625 × 214)
    floor (0.946685791015625 × 16384)
    floor (15510.5)     		tx = 15510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198638916015625 × 214)
    floor (0.198638916015625 × 16384)
    floor (3254.5)     		ty = 3254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15510 / 3254 ti = "14/15510/3254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15510/3254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15510 ÷ 214
    15510 ÷ 16384     		x = 0.9466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3254 ÷ 214
    3254 ÷ 16384     		y = 0.1986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9466552734375 × 2 - 1) × π
    0.893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80641785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1986083984375 × 2 - 1) × π
    0.602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8936992825907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80641785} λ = 2.80641785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8936992825907))-π/2
    2×atan(6.64390094427705)-π/2
    2×1.42140374335087-π/2
    2.84280748670173-1.57079632675     		φ = 1.27201116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80641785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27201116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.880871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15510 KachelY 3254 2.80641785 1.27201116 160.795898 72.880871
    Oben rechts KachelX + 1 15511 KachelY 3254 2.80680135 1.27201116 160.817871 72.880871
    Unten links KachelX 15510 KachelY + 1 3255 2.80641785 1.27189825 160.795898 72.874402
    Unten rechts KachelX + 1 15511 KachelY + 1 3255 2.80680135 1.27189825 160.817871 72.874402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27201116-1.27189825) × R
    0.000112909999999911 × 6371000     		dl = 719.34960999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27201116-1.27189825) × R
    0.000112909999999911 × 6371000     		dr = 719.34960999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80641785-2.80680135) × cos(1.27201116) × R
    0.000383500000000314 × 0.294359414390522 × 6371000     		do = 719.202028453543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80641785-2.80680135) × cos(1.27189825) × R
    0.000383500000000314 × 0.294467320012895 × 6371000     		du = 719.465671940716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27201116)-sin(1.27189825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294359414390522-0.294467320012895)×R²
    abs(2.80680135-2.80641785)×0.000107905622372617×R²
    0.000383500000000314×0.000107905622372617×6371000²
    0.000383500000000314×0.000107905622372617×40589641000000     		ar = 517452.525148081m²