Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15508 / 3249
↖ ↑ ↗
← N 72.913181°
E160.751953°		 ← 717.89 m → N 72.913181°
E160.773926°		 →
↑
718.01 m
↓
↑
718.01 m
↓
N 72.906723°
E160.751953°		 ← 718.15 m →
515 544 m²		 N 72.906723°
E160.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946563720703125 y=0.198333740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946563720703125 × 214)
    floor (0.946563720703125 × 16384)
    floor (15508.5)     		tx = 15508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198333740234375 × 214)
    floor (0.198333740234375 × 16384)
    floor (3249.5)     		ty = 3249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15508 / 3249 ti = "14/15508/3249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15508/3249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15508 ÷ 214
    15508 ÷ 16384     		x = 0.946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3249 ÷ 214
    3249 ÷ 16384     		y = 0.19830322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946533203125 × 2 - 1) × π
    0.89306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80565086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19830322265625 × 2 - 1) × π
    0.6033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8956167585755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80565086} λ = 2.80565086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8956167585755))-π/2
    2×atan(6.65665268645576)-π/2
    2×1.42168569846663-π/2
    2.84337139693326-1.57079632675     		φ = 1.27257507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80565086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27257507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.913181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15508 KachelY 3249 2.80565086 1.27257507 160.751953 72.913181
    Oben rechts KachelX + 1 15509 KachelY 3249 2.80603436 1.27257507 160.773926 72.913181
    Unten links KachelX 15508 KachelY + 1 3250 2.80565086 1.27246237 160.751953 72.906723
    Unten rechts KachelX + 1 15509 KachelY + 1 3250 2.80603436 1.27246237 160.773926 72.906723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27257507-1.27246237) × R
    0.000112700000000077 × 6371000     		dl = 718.011700000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27257507-1.27246237) × R
    0.000112700000000077 × 6371000     		dr = 718.011700000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80565086-2.80603436) × cos(1.27257507) × R
    0.00038349999999987 × 0.293820441766681 × 6371000     		do = 717.885168228791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80565086-2.80603436) × cos(1.27246237) × R
    0.00038349999999987 × 0.293928165393742 × 6371000     		du = 718.14836705073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27257507)-sin(1.27246237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293820441766681-0.293928165393742)×R²
    abs(2.80603436-2.80565086)×0.000107723627060463×R²
    0.00038349999999987×0.000107723627060463×6371000²
    0.00038349999999987×0.000107723627060463×40589641000000     		ar = 515544.4405066m²