Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15507 / 3244
↖ ↑ ↗
← N 72.945431°
E160.729981°		 ← 716.55 m → N 72.945431°
E160.751953°		 →
↑
716.74 m
↓
↑
716.74 m
↓
N 72.938985°
E160.729981°		 ← 716.81 m →
513 674 m²		 N 72.938985°
E160.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946502685546875 y=0.198028564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946502685546875 × 214)
    floor (0.946502685546875 × 16384)
    floor (15507.5)     		tx = 15507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198028564453125 × 214)
    floor (0.198028564453125 × 16384)
    floor (3244.5)     		ty = 3244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15507 / 3244 ti = "14/15507/3244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15507/3244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15507 ÷ 214
    15507 ÷ 16384     		x = 0.94647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3244 ÷ 214
    3244 ÷ 16384     		y = 0.197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94647216796875 × 2 - 1) × π
    0.8929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80526737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197998046875 × 2 - 1) × π
    0.60400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8975342345603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80526737} λ = 2.80526737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8975342345603))-π/2
    2×atan(6.66942890325111)-π/2
    2×1.42196713727717-π/2
    2.84393427455435-1.57079632675     		φ = 1.27313795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80526737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27313795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.945431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15507 KachelY 3244 2.80526737 1.27313795 160.729981 72.945431
    Oben rechts KachelX + 1 15508 KachelY 3244 2.80565086 1.27313795 160.751953 72.945431
    Unten links KachelX 15507 KachelY + 1 3245 2.80526737 1.27302545 160.729981 72.938985
    Unten rechts KachelX + 1 15508 KachelY + 1 3245 2.80565086 1.27302545 160.751953 72.938985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27313795-1.27302545) × R
    0.00011249999999996 × 6371000     		dl = 716.737499999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27313795-1.27302545) × R
    0.00011249999999996 × 6371000     		dr = 716.737499999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80526737-2.80565086) × cos(1.27313795) × R
    0.000383489999999931 × 0.29328236041636 × 6371000     		do = 716.551800615231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80526737-2.80565086) × cos(1.27302545) × R
    0.000383489999999931 × 0.293389911470166 × 6371000     		du = 716.814570940571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27313795)-sin(1.27302545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29328236041636-0.293389911470166)×R²
    abs(2.80565086-2.80526737)×0.000107551053806387×R²
    0.000383489999999931×0.000107551053806387×6371000²
    0.000383489999999931×0.000107551053806387×40589641000000     		ar = 513673.715407595m²