Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15506 / 3243
↖ ↑ ↗
← N 72.951874°
E160.708008°		 ← 716.31 m → N 72.951874°
E160.729981°		 →
↑
716.42 m
↓
↑
716.42 m
↓
N 72.945431°
E160.708008°		 ← 716.57 m →
513 271 m²		 N 72.945431°
E160.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946441650390625 y=0.197967529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946441650390625 × 214)
    floor (0.946441650390625 × 16384)
    floor (15506.5)     		tx = 15506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197967529296875 × 214)
    floor (0.197967529296875 × 16384)
    floor (3243.5)     		ty = 3243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15506 / 3243 ti = "14/15506/3243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15506/3243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15506 ÷ 214
    15506 ÷ 16384     		x = 0.9464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3243 ÷ 214
    3243 ÷ 16384     		y = 0.19793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9464111328125 × 2 - 1) × π
    0.892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80488387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19793701171875 × 2 - 1) × π
    0.6041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89791772975726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80488387} λ = 2.80488387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89791772975726))-π/2
    2×atan(6.67198708769635)-π/2
    2×1.42202336315804-π/2
    2.84404672631608-1.57079632675     		φ = 1.27325040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80488387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27325040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.951874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15506 KachelY 3243 2.80488387 1.27325040 160.708008 72.951874
    Oben rechts KachelX + 1 15507 KachelY 3243 2.80526737 1.27325040 160.729981 72.951874
    Unten links KachelX 15506 KachelY + 1 3244 2.80488387 1.27313795 160.708008 72.945431
    Unten rechts KachelX + 1 15507 KachelY + 1 3244 2.80526737 1.27313795 160.729981 72.945431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27325040-1.27313795) × R
    0.000112450000000042 × 6371000     		dl = 716.418950000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27325040-1.27313795) × R
    0.000112450000000042 × 6371000     		dr = 716.418950000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80488387-2.80526737) × cos(1.27325040) × R
    0.000383500000000314 × 0.293174853453641 × 6371000     		do = 716.307816184517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80488387-2.80526737) × cos(1.27313795) × R
    0.000383500000000314 × 0.29328236041636 × 6371000     		du = 716.570485635129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27325040)-sin(1.27313795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293174853453641-0.29328236041636)×R²
    abs(2.80526737-2.80488387)×0.000107506962718995×R²
    0.000383500000000314×0.000107506962718995×6371000²
    0.000383500000000314×0.000107506962718995×40589641000000     		ar = 513270.584774551m²