Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15506 / 3241
↖ ↑ ↗
← N 72.964753°
E160.708008°		 ← 715.78 m → N 72.964753°
E160.729981°		 →
↑
715.91 m
↓
↑
715.91 m
↓
N 72.958315°
E160.708008°		 ← 716.05 m →
512 529 m²		 N 72.958315°
E160.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946441650390625 y=0.197845458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946441650390625 × 214)
    floor (0.946441650390625 × 16384)
    floor (15506.5)     		tx = 15506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197845458984375 × 214)
    floor (0.197845458984375 × 16384)
    floor (3241.5)     		ty = 3241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15506 / 3241 ti = "14/15506/3241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15506/3241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15506 ÷ 214
    15506 ÷ 16384     		x = 0.9464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3241 ÷ 214
    3241 ÷ 16384     		y = 0.19781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9464111328125 × 2 - 1) × π
    0.892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80488387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19781494140625 × 2 - 1) × π
    0.6043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89868472015118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80488387} λ = 2.80488387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89868472015118))-π/2
    2×atan(6.67710640068195)-π/2
    2×1.42213575309331-π/2
    2.84427150618662-1.57079632675     		φ = 1.27347518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80488387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27347518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.964753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15506 KachelY 3241 2.80488387 1.27347518 160.708008 72.964753
    Oben rechts KachelX + 1 15507 KachelY 3241 2.80526737 1.27347518 160.729981 72.964753
    Unten links KachelX 15506 KachelY + 1 3242 2.80488387 1.27336281 160.708008 72.958315
    Unten rechts KachelX + 1 15507 KachelY + 1 3242 2.80526737 1.27336281 160.729981 72.958315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27347518-1.27336281) × R
    0.000112369999999862 × 6371000     		dl = 715.909269999119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27347518-1.27336281) × R
    0.000112369999999862 × 6371000     		dr = 715.909269999119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80488387-2.80526737) × cos(1.27347518) × R
    0.000383500000000314 × 0.29295994314294 × 6371000     		do = 715.782730442954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80488387-2.80526737) × cos(1.27336281) × R
    0.000383500000000314 × 0.293067381027397 × 6371000     		du = 716.045231116132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27347518)-sin(1.27336281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29295994314294-0.293067381027397)×R²
    abs(2.80526737-2.80488387)×0.000107437884456663×R²
    0.000383500000000314×0.000107437884456663×6371000²
    0.000383500000000314×0.000107437884456663×40589641000000     		ar = 512529.455902325m²