Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15506 / 3240
↖ ↑ ↗
← N 72.971189°
E160.708008°		 ← 715.52 m → N 72.971189°
E160.729981°		 →
↑
715.65 m
↓
↑
715.65 m
↓
N 72.964753°
E160.708008°		 ← 715.78 m →
512 159 m²		 N 72.964753°
E160.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946441650390625 y=0.197784423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946441650390625 × 214)
    floor (0.946441650390625 × 16384)
    floor (15506.5)     		tx = 15506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197784423828125 × 214)
    floor (0.197784423828125 × 16384)
    floor (3240.5)     		ty = 3240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15506 / 3240 ti = "14/15506/3240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15506/3240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15506 ÷ 214
    15506 ÷ 16384     		x = 0.9464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3240 ÷ 214
    3240 ÷ 16384     		y = 0.19775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9464111328125 × 2 - 1) × π
    0.892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80488387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19775390625 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80488387} λ = 2.80488387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89906821534814))-π/2
    2×atan(6.67966752997521)-π/2
    2×1.4221919171614-π/2
    2.8443838343228-1.57079632675     		φ = 1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80488387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15506 KachelY 3240 2.80488387 1.27358751 160.708008 72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 15507 KachelY 3240 2.80526737 1.27358751 160.729981 72.971189
    Unten links KachelX 15506 KachelY + 1 3241 2.80488387 1.27347518 160.708008 72.964753
    Unten rechts KachelX + 1 15507 KachelY + 1 3241 2.80526737 1.27347518 160.729981 72.964753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27358751-1.27347518) × R
    0.000112330000000105 × 6371000     		dl = 715.654430000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27358751-1.27347518) × R
    0.000112330000000105 × 6371000     		dr = 715.654430000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80488387-2.80526737) × cos(1.27358751) × R
    0.000383500000000314 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 715.520314177948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80488387-2.80526737) × cos(1.27347518) × R
    0.000383500000000314 × 0.29295994314294 × 6371000     		du = 715.782730442954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27358751)-sin(1.27347518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.29295994314294)×R²
    abs(2.80526737-2.80488387)×0.000107403337362144×R²
    0.000383500000000314×0.000107403337362144×6371000²
    0.000383500000000314×0.000107403337362144×40589641000000     		ar = 512159.18281526m²