Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15505 / 8791
↖ ↑ ↗
← N 63.748491°
W  9.656982°		 ← 540.35 m → N 63.748491°
W  9.645996°		 →
↑
540.39 m
↓
↑
540.39 m
↓
N 63.743631°
W  9.656982°		 ← 540.44 m →
292 022 m²		 N 63.743631°
W  9.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473190307617188 y=0.268295288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473190307617188 × 215)
    floor (0.473190307617188 × 32768)
    floor (15505.5)     		tx = 15505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268295288085938 × 215)
    floor (0.268295288085938 × 32768)
    floor (8791.5)     		ty = 8791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15505 / 8791 ti = "15/15505/8791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15505/8791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15505 ÷ 215
    15505 ÷ 32768     		x = 0.473175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8791 ÷ 215
    8791 ÷ 32768     		y = 0.268280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.05364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16854614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268280029296875 × 2 - 1) × π
    0.46343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45593951526035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16854614} λ = -0.16854614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45593951526035))-π/2
    2×atan(4.28851069472612)-π/2
    2×1.34170869204468-π/2
    2.68341738408936-1.57079632675     		φ = 1.11262106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16854614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.656982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11262106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.748491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15505 KachelY 8791 -0.16854614 1.11262106 -9.656982 63.748491
    Oben rechts KachelX + 1 15506 KachelY 8791 -0.16835439 1.11262106 -9.645996 63.748491
    Unten links KachelX 15505 KachelY + 1 8792 -0.16854614 1.11253624 -9.656982 63.743631
    Unten rechts KachelX + 1 15506 KachelY + 1 8792 -0.16835439 1.11253624 -9.645996 63.743631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11262106-1.11253624) × R
    8.48199999998744e-05 × 6371000     		dl = 540.3882199992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11262106-1.11253624) × R
    8.48199999998744e-05 × 6371000     		dr = 540.3882199992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16854614--0.16835439) × cos(1.11262106) × R
    0.000191750000000018 × 0.442312312031147 × 6371000     		do = 540.346081135547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16854614--0.16835439) × cos(1.11253624) × R
    0.000191750000000018 × 0.442388382197799 × 6371000     		du = 540.439011436884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11262106)-sin(1.11253624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442312312031147-0.442388382197799)×R²
    abs(-0.16835439--0.16854614)×7.60701666524533e-05×R²
    0.000191750000000018×7.60701666524533e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.60701666524533e-05×40589641000000     		ar = 292021.766363945m²