Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15505 / 3239
↖ ↑ ↗
← N 72.977622°
E160.686035°		 ← 715.24 m → N 72.977622°
E160.708008°		 →
↑
715.34 m
↓
↑
715.34 m
↓
N 72.971189°
E160.686035°		 ← 715.50 m →
511 730 m²		 N 72.971189°
E160.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946380615234375 y=0.197723388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946380615234375 × 214)
    floor (0.946380615234375 × 16384)
    floor (15505.5)     		tx = 15505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197723388671875 × 214)
    floor (0.197723388671875 × 16384)
    floor (3239.5)     		ty = 3239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15505 / 3239 ti = "14/15505/3239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15505/3239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15505 ÷ 214
    15505 ÷ 16384     		x = 0.94635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3239 ÷ 214
    3239 ÷ 16384     		y = 0.19769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94635009765625 × 2 - 1) × π
    0.8927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80450038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19769287109375 × 2 - 1) × π
    0.6046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8994517105451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80450038} λ = 2.80450038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8994517105451))-π/2
    2×atan(6.68222964163761)-π/2
    2×1.42224806063893-π/2
    2.84449612127786-1.57079632675     		φ = 1.27369979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80450038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.686035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27369979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.977622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15505 KachelY 3239 2.80450038 1.27369979 160.686035 72.977622
    Oben rechts KachelX + 1 15506 KachelY 3239 2.80488387 1.27369979 160.708008 72.977622
    Unten links KachelX 15505 KachelY + 1 3240 2.80450038 1.27358751 160.686035 72.971189
    Unten rechts KachelX + 1 15506 KachelY + 1 3240 2.80488387 1.27358751 160.708008 72.971189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27369979-1.27358751) × R
    0.000112279999999965 × 6371000     		dl = 715.335879999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27369979-1.27358751) × R
    0.000112279999999965 × 6371000     		dr = 715.335879999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80450038-2.80488387) × cos(1.27369979) × R
    0.000383489999999931 × 0.292745180582519 × 6371000     		do = 715.239354900302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80450038-2.80488387) × cos(1.27358751) × R
    0.000383489999999931 × 0.292852539805578 × 6371000     		du = 715.501656541922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27369979)-sin(1.27358751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292745180582519-0.292852539805578)×R²
    abs(2.80488387-2.80450038)×0.000107359223058767×R²
    0.000383489999999931×0.000107359223058767×6371000²
    0.000383489999999931×0.000107359223058767×40589641000000     		ar = 511730.190773643m²