Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15502 / 8787
↖ ↑ ↗
← N 63.767922°
W  9.689941°		 ← 539.97 m → N 63.767922°
W  9.678955°		 →
↑
540.01 m
↓
↑
540.01 m
↓
N 63.763065°
W  9.689941°		 ← 540.07 m →
291 615 m²		 N 63.763065°
W  9.678955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473098754882812 y=0.268173217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473098754882812 × 215)
    floor (0.473098754882812 × 32768)
    floor (15502.5)     		tx = 15502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268173217773438 × 215)
    floor (0.268173217773438 × 32768)
    floor (8787.5)     		ty = 8787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15502 / 8787 ti = "15/15502/8787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15502/8787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15502 ÷ 215
    15502 ÷ 32768     		x = 0.47308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8787 ÷ 215
    8787 ÷ 32768     		y = 0.268157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.0538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16912138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268157958984375 × 2 - 1) × π
    0.46368408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45670650565427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16912138} λ = -0.16912138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45670650565427))-π/2
    2×atan(4.291801202966)-π/2
    2×1.34187825836193-π/2
    2.68375651672385-1.57079632675     		φ = 1.11296019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16912138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11296019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.767922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15502 KachelY 8787 -0.16912138 1.11296019 -9.689941 63.767922
    Oben rechts KachelX + 1 15503 KachelY 8787 -0.16892963 1.11296019 -9.678955 63.767922
    Unten links KachelX 15502 KachelY + 1 8788 -0.16912138 1.11287543 -9.689941 63.763065
    Unten rechts KachelX + 1 15503 KachelY + 1 8788 -0.16892963 1.11287543 -9.678955 63.763065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11296019-1.11287543) × R
    8.4759999999795e-05 × 6371000     		dl = 540.005959998694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11296019-1.11287543) × R
    8.4759999999795e-05 × 6371000     		dr = 540.005959998694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16912138--0.16892963) × cos(1.11296019) × R
    0.000191749999999991 × 0.44200813409981 × 6371000     		do = 539.974485435565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16912138--0.16892963) × cos(1.11287543) × R
    0.000191749999999991 × 0.442084163167885 × 6371000     		du = 540.067365529266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11296019)-sin(1.11287543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44200813409981-0.442084163167885)×R²
    abs(-0.16892963--0.16912138)×7.60290680747455e-05×R²
    0.000191749999999991×7.60290680747455e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.60290680747455e-05×40589641000000     		ar = 291614.518459055m²