Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15501 / 9835
↖ ↑ ↗
← N 58.199661°
W  9.700928°		 ← 643.76 m → N 58.199661°
W  9.689941°		 →
↑
643.79 m
↓
↑
643.79 m
↓
N 58.193871°
W  9.700928°		 ← 643.86 m →
414 477 m²		 N 58.193871°
W  9.689941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473068237304688 y=0.300155639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473068237304688 × 215)
    floor (0.473068237304688 × 32768)
    floor (15501.5)     		tx = 15501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300155639648438 × 215)
    floor (0.300155639648438 × 32768)
    floor (9835.5)     		ty = 9835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15501 / 9835 ti = "15/15501/9835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15501/9835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15501 ÷ 215
    15501 ÷ 32768     		x = 0.473052978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9835 ÷ 215
    9835 ÷ 32768     		y = 0.300140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.05389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16931313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300140380859375 × 2 - 1) × π
    0.39971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25575502244699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16931313} λ = -0.16931313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25575502244699))-π/2
    2×atan(3.51048787114454)-π/2
    2×1.29328601826865-π/2
    2.58657203653729-1.57079632675     		φ = 1.01577571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16931313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.700928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01577571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.199661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15501 KachelY 9835 -0.16931313 1.01577571 -9.700928 58.199661
    Oben rechts KachelX + 1 15502 KachelY 9835 -0.16912138 1.01577571 -9.689941 58.199661
    Unten links KachelX 15501 KachelY + 1 9836 -0.16931313 1.01567466 -9.700928 58.193871
    Unten rechts KachelX + 1 15502 KachelY + 1 9836 -0.16912138 1.01567466 -9.689941 58.193871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01577571-1.01567466) × R
    0.000101050000000047 × 6371000     		dl = 643.789550000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01577571-1.01567466) × R
    0.000101050000000047 × 6371000     		dr = 643.789550000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16931313--0.16912138) × cos(1.01577571) × R
    0.000191750000000018 × 0.52696082231437 × 6371000     		do = 643.756023751572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16931313--0.16912138) × cos(1.01567466) × R
    0.000191750000000018 × 0.527046700965475 × 6371000     		du = 643.860936482498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01577571)-sin(1.01567466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52696082231437-0.527046700965475)×R²
    abs(-0.16912138--0.16931313)×8.58786511042098e-05×R²
    0.000191750000000018×8.58786511042098e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.58786511042098e-05×40589641000000     		ar = 414477.172053778m²