Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15500 / 9829
↖ ↑ ↗
← N 58.234380°
W  9.711914°		 ← 643.13 m → N 58.234380°
W  9.700928°		 →
↑
643.15 m
↓
↑
643.15 m
↓
N 58.228596°
W  9.711914°		 ← 643.23 m →
413 662 m²		 N 58.228596°
W  9.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473037719726562 y=0.299972534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473037719726562 × 215)
    floor (0.473037719726562 × 32768)
    floor (15500.5)     		tx = 15500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299972534179688 × 215)
    floor (0.299972534179688 × 32768)
    floor (9829.5)     		ty = 9829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15500 / 9829 ti = "15/15500/9829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15500/9829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15500 ÷ 215
    15500 ÷ 32768     		x = 0.4730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9829 ÷ 215
    9829 ÷ 32768     		y = 0.299957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16950488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299957275390625 × 2 - 1) × π
    0.40008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25690550803787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16950488} λ = -0.16950488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25690550803787))-π/2
    2×atan(3.51452896101936)-π/2
    2×1.29358900051674-π/2
    2.58717800103347-1.57079632675     		φ = 1.01638167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16950488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01638167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.234380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15500 KachelY 9829 -0.16950488 1.01638167 -9.711914 58.234380
    Oben rechts KachelX + 1 15501 KachelY 9829 -0.16931313 1.01638167 -9.700928 58.234380
    Unten links KachelX 15500 KachelY + 1 9830 -0.16950488 1.01628072 -9.711914 58.228596
    Unten rechts KachelX + 1 15501 KachelY + 1 9830 -0.16931313 1.01628072 -9.700928 58.228596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01638167-1.01628072) × R
    0.000100949999999989 × 6371000     		dl = 643.152449999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01638167-1.01628072) × R
    0.000100949999999989 × 6371000     		dr = 643.152449999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16950488--0.16931313) × cos(1.01638167) × R
    0.000191749999999991 × 0.526445726511573 × 6371000     		do = 643.126762501271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16950488--0.16931313) × cos(1.01628072) × R
    0.000191749999999991 × 0.526531552400982 × 6371000     		du = 643.23161077644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01638167)-sin(1.01628072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526445726511573-0.526531552400982)×R²
    abs(-0.16931313--0.16950488)×8.58258894094188e-05×R²
    0.000191749999999991×8.58258894094188e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.58258894094188e-05×40589641000000     		ar = 413662.270026686m²