Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15500 / 3212
↖ ↑ ↗
← N 73.150440°
E160.576172°		 ← 708.19 m → N 73.150440°
E160.598144°		 →
↑
708.33 m
↓
↑
708.33 m
↓
N 73.144070°
E160.576172°		 ← 708.45 m →
501 722 m²		 N 73.144070°
E160.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946075439453125 y=0.196075439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946075439453125 × 214)
    floor (0.946075439453125 × 16384)
    floor (15500.5)     		tx = 15500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196075439453125 × 214)
    floor (0.196075439453125 × 16384)
    floor (3212.5)     		ty = 3212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15500 / 3212 ti = "14/15500/3212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15500/3212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15500 ÷ 214
    15500 ÷ 16384     		x = 0.946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3212 ÷ 214
    3212 ÷ 16384     		y = 0.196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946044921875 × 2 - 1) × π
    0.89208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80258290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196044921875 × 2 - 1) × π
    0.60791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90980608086304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80258290} λ = 2.80258290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90980608086304))-π/2
    2×atan(6.75177937234514)-π/2
    2×1.42375617625964-π/2
    2.84751235251929-1.57079632675     		φ = 1.27671603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80258290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27671603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.150440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15500 KachelY 3212 2.80258290 1.27671603 160.576172 73.150440
    Oben rechts KachelX + 1 15501 KachelY 3212 2.80296639 1.27671603 160.598144 73.150440
    Unten links KachelX 15500 KachelY + 1 3213 2.80258290 1.27660485 160.576172 73.144070
    Unten rechts KachelX + 1 15501 KachelY + 1 3213 2.80296639 1.27660485 160.598144 73.144070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27671603-1.27660485) × R
    0.000111179999999989 × 6371000     		dl = 708.327779999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27671603-1.27660485) × R
    0.000111179999999989 × 6371000     		dr = 708.327779999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80258290-2.80296639) × cos(1.27671603) × R
    0.000383489999999931 × 0.289859753289033 × 6371000     		do = 708.18963626139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80258290-2.80296639) × cos(1.27660485) × R
    0.000383489999999931 × 0.289966158443433 × 6371000     		du = 708.44960690835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27671603)-sin(1.27660485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289859753289033-0.289966158443433)×R²
    abs(2.80296639-2.80258290)×0.000106405154399192×R²
    0.000383489999999931×0.000106405154399192×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106405154399192×40589641000000     		ar = 501722.465604691m²