Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 155 / 118
↖ ↑ ↗
← N 13.923404°
E 37.968750°		 ← 151.773 km → N 13.923404°
E 39.375000°		 →
↑
152.208 km
↓
↑
152.208 km
↓
N 12.554564°
E 37.968750°		 ← 152.629 km →
23 167.4 km²		 N 12.554564°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607421875 y=0.462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607421875 × 28)
    floor (0.607421875 × 256)
    floor (155.5)     		tx = 155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462890625 × 28)
    floor (0.462890625 × 256)
    floor (118.5)     		ty = 118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 155 / 118 ti = "8/155/118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/155/118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 155 ÷ 28
    155 ÷ 256     		x = 0.60546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118 ÷ 28
    118 ÷ 256     		y = 0.4609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60546875 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4609375 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66267970} λ = 0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245436926054688))-π/2
    2×atan(1.27817966121416)-π/2
    2×0.906902783944186-π/2
    1.81380556788837-1.57079632675     		φ = 0.24300924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24300924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.923404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 155 KachelY 118 0.66267970 0.24300924 37.968750 13.923404
    Oben rechts KachelX + 1 156 KachelY 118 0.68722339 0.24300924 39.375000 13.923404
    Unten links KachelX 155 KachelY + 1 119 0.66267970 0.21911847 37.968750 12.554564
    Unten rechts KachelX + 1 156 KachelY + 1 119 0.68722339 0.21911847 39.375000 12.554564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24300924-0.21911847) × R
    0.02389077 × 6371000     		dl = 152208.09567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24300924-0.21911847) × R
    0.02389077 × 6371000     		dr = 152208.09567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66267970-0.68722339) × cos(0.24300924) × R
    0.02454369 × 0.970618273695534 × 6371000     		do = 151773.491648158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66267970-0.68722339) × cos(0.21911847) × R
    0.02454369 × 0.976089446082766 × 6371000     		du = 152629.007105803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24300924)-sin(0.21911847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970618273695534-0.976089446082766)×R²
    abs(0.68722339-0.66267970)×0.00547117238723227×R²
    0.02454369×0.00547117238723227×6371000²
    0.02454369×0.00547117238723227×40589641000000     		ar = 23167364270.9823m²