Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15498 / 9870
↖ ↑ ↗
← N 57.996455°
W  9.733887°		 ← 647.43 m → N 57.996455°
W  9.722900°		 →
↑
647.48 m
↓
↑
647.48 m
↓
N 57.990632°
W  9.733887°		 ← 647.54 m →
419 238 m²		 N 57.990632°
W  9.722900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472976684570312 y=0.301223754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472976684570312 × 215)
    floor (0.472976684570312 × 32768)
    floor (15498.5)     		tx = 15498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301223754882812 × 215)
    floor (0.301223754882812 × 32768)
    floor (9870.5)     		ty = 9870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15498 / 9870 ti = "15/15498/9870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15498/9870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15498 ÷ 215
    15498 ÷ 32768     		x = 0.47296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9870 ÷ 215
    9870 ÷ 32768     		y = 0.30120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16988837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30120849609375 × 2 - 1) × π
    0.3975830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24904385650018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16988837} λ = -0.16988837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24904385650018))-π/2
    2×atan(3.48700728367646)-π/2
    2×1.29151270875714-π/2
    2.58302541751429-1.57079632675     		φ = 1.01222909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16988837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.733887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01222909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.996455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15498 KachelY 9870 -0.16988837 1.01222909 -9.733887 57.996455
    Oben rechts KachelX + 1 15499 KachelY 9870 -0.16969662 1.01222909 -9.722900 57.996455
    Unten links KachelX 15498 KachelY + 1 9871 -0.16988837 1.01212746 -9.733887 57.990632
    Unten rechts KachelX + 1 15499 KachelY + 1 9871 -0.16969662 1.01212746 -9.722900 57.990632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01222909-1.01212746) × R
    0.000101629999999853 × 6371000     		dl = 647.484729999061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01222909-1.01212746) × R
    0.000101629999999853 × 6371000     		dr = 647.484729999061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16988837--0.16969662) × cos(1.01222909) × R
    0.000191750000000018 × 0.529971737175628 × 6371000     		do = 647.434275524493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16988837--0.16969662) × cos(1.01212746) × R
    0.000191750000000018 × 0.530057918233995 × 6371000     		du = 647.539557688001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01222909)-sin(1.01212746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529971737175628-0.530057918233995)×R²
    abs(-0.16969662--0.16988837)×8.61810583674405e-05×R²
    0.000191750000000018×8.61810583674405e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.61810583674405e-05×40589641000000     		ar = 419237.891737616m²