Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15498 / 8562
↖ ↑ ↗
← N 64.839597°
W  9.733887°		 ← 519.38 m → N 64.839597°
W  9.722900°		 →
↑
519.43 m
↓
↑
519.43 m
↓
N 64.834926°
W  9.733887°		 ← 519.47 m →
269 806 m²		 N 64.834926°
W  9.722900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472976684570312 y=0.261306762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472976684570312 × 215)
    floor (0.472976684570312 × 32768)
    floor (15498.5)     		tx = 15498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261306762695312 × 215)
    floor (0.261306762695312 × 32768)
    floor (8562.5)     		ty = 8562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15498 / 8562 ti = "15/15498/8562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15498/8562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15498 ÷ 215
    15498 ÷ 32768     		x = 0.47296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8562 ÷ 215
    8562 ÷ 32768     		y = 0.26129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16988837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26129150390625 × 2 - 1) × π
    0.4774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49984971531232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16988837} λ = -0.16988837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49984971531232))-π/2
    2×atan(4.48101559170387)-π/2
    2×1.35123039113762-π/2
    2.70246078227524-1.57079632675     		φ = 1.13166446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16988837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.733887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13166446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.839597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15498 KachelY 8562 -0.16988837 1.13166446 -9.733887 64.839597
    Oben rechts KachelX + 1 15499 KachelY 8562 -0.16969662 1.13166446 -9.722900 64.839597
    Unten links KachelX 15498 KachelY + 1 8563 -0.16988837 1.13158293 -9.733887 64.834926
    Unten rechts KachelX + 1 15499 KachelY + 1 8563 -0.16969662 1.13158293 -9.722900 64.834926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13166446-1.13158293) × R
    8.15300000001073e-05 × 6371000     		dl = 519.427630000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13166446-1.13158293) × R
    8.15300000001073e-05 × 6371000     		dr = 519.427630000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16988837--0.16969662) × cos(1.13166446) × R
    0.000191750000000018 × 0.425153859697695 × 6371000     		do = 519.384642295747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16988837--0.16969662) × cos(1.13158293) × R
    0.000191750000000018 × 0.425227652807414 × 6371000     		du = 519.474790854959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13166446)-sin(1.13158293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425153859697695-0.425227652807414)×R²
    abs(-0.16969662--0.16988837)×7.37931097185007e-05×R²
    0.000191750000000018×7.37931097185007e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.37931097185007e-05×40589641000000     		ar = 269806.146781443m²