Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15496 / 3223
↖ ↑ ↗
← N 73.080240°
E160.488281°		 ← 711.05 m → N 73.080240°
E160.510254°		 →
↑
711.19 m
↓
↑
711.19 m
↓
N 73.073844°
E160.488281°		 ← 711.32 m →
505 791 m²		 N 73.073844°
E160.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945831298828125 y=0.196746826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945831298828125 × 214)
    floor (0.945831298828125 × 16384)
    floor (15496.5)     		tx = 15496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196746826171875 × 214)
    floor (0.196746826171875 × 16384)
    floor (3223.5)     		ty = 3223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15496 / 3223 ti = "14/15496/3223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15496/3223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15496 ÷ 214
    15496 ÷ 16384     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3223 ÷ 214
    3223 ÷ 16384     		y = 0.19671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19671630859375 × 2 - 1) × π
    0.6065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90558763369647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90558763369647))-π/2
    2×atan(6.72335733835518)-π/2
    2×1.42314356153983-π/2
    2.84628712307965-1.57079632675     		φ = 1.27549080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27549080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.080240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15496 KachelY 3223 2.80104892 1.27549080 160.488281 73.080240
    Oben rechts KachelX + 1 15497 KachelY 3223 2.80143241 1.27549080 160.510254 73.080240
    Unten links KachelX 15496 KachelY + 1 3224 2.80104892 1.27537917 160.488281 73.073844
    Unten rechts KachelX + 1 15497 KachelY + 1 3224 2.80143241 1.27537917 160.510254 73.073844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27549080-1.27537917) × R
    0.00011163000000014 × 6371000     		dl = 711.194730000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27549080-1.27537917) × R
    0.00011163000000014 × 6371000     		dr = 711.194730000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80143241) × cos(1.27549080) × R
    0.000383489999999931 × 0.291032165241197 × 6371000     		do = 711.054090482888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80143241) × cos(1.27537917) × R
    0.000383489999999931 × 0.291138961329864 × 6371000     		du = 711.315016266233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27549080)-sin(1.27537917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291032165241197-0.291138961329864)×R²
    abs(2.80143241-2.80104892)×0.000106796088666816×R²
    0.000383489999999931×0.000106796088666816×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106796088666816×40589641000000     		ar = 505790.706942731m²