Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15496 / 3208
↖ ↑ ↗
← N 73.175897°
E160.488281°		 ← 707.15 m → N 73.175897°
E160.510254°		 →
↑
707.31 m
↓
↑
707.31 m
↓
N 73.169536°
E160.488281°		 ← 707.41 m →
500 265 m²		 N 73.169536°
E160.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945831298828125 y=0.195831298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945831298828125 × 214)
    floor (0.945831298828125 × 16384)
    floor (15496.5)     		tx = 15496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195831298828125 × 214)
    floor (0.195831298828125 × 16384)
    floor (3208.5)     		ty = 3208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15496 / 3208 ti = "14/15496/3208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15496/3208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15496 ÷ 214
    15496 ÷ 16384     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3208 ÷ 214
    3208 ÷ 16384     		y = 0.19580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19580078125 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91134006165088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91134006165088))-π/2
    2×atan(6.76214442004559)-π/2
    2×1.42397833278507-π/2
    2.84795666557014-1.57079632675     		φ = 1.27716034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27716034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.175897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15496 KachelY 3208 2.80104892 1.27716034 160.488281 73.175897
    Oben rechts KachelX + 1 15497 KachelY 3208 2.80143241 1.27716034 160.510254 73.175897
    Unten links KachelX 15496 KachelY + 1 3209 2.80104892 1.27704932 160.488281 73.169536
    Unten rechts KachelX + 1 15497 KachelY + 1 3209 2.80143241 1.27704932 160.510254 73.169536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27716034-1.27704932) × R
    0.000111020000000073 × 6371000     		dl = 707.308420000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27716034-1.27704932) × R
    0.000111020000000073 × 6371000     		dr = 707.308420000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80143241) × cos(1.27716034) × R
    0.000383489999999931 × 0.289434489306181 × 6371000     		do = 707.15062500883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80143241) × cos(1.27704932) × R
    0.000383489999999931 × 0.289540755624803 × 6371000     		du = 707.410256450166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27716034)-sin(1.27704932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289434489306181-0.289540755624803)×R²
    abs(2.80143241-2.80104892)×0.000106266318621984×R²
    0.000383489999999931×0.000106266318621984×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106266318621984×40589641000000     		ar = 500265.411543674m²