Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15495 / 3225
↖ ↑ ↗
← N 73.067446°
E160.466308°		 ← 711.59 m → N 73.067446°
E160.488281°		 →
↑
711.77 m
↓
↑
711.77 m
↓
N 73.061044°
E160.466308°		 ← 711.86 m →
506 583 m²		 N 73.061044°
E160.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945770263671875 y=0.196868896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945770263671875 × 214)
    floor (0.945770263671875 × 16384)
    floor (15495.5)     		tx = 15495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196868896484375 × 214)
    floor (0.196868896484375 × 16384)
    floor (3225.5)     		ty = 3225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15495 / 3225 ti = "14/15495/3225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15495/3225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15495 ÷ 214
    15495 ÷ 16384     		x = 0.94573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3225 ÷ 214
    3225 ÷ 16384     		y = 0.19683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94573974609375 × 2 - 1) × π
    0.8914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80066542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19683837890625 × 2 - 1) × π
    0.6063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90482064330255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80066542} λ = 2.80066542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90482064330255))-π/2
    2×atan(6.71820256494531)-π/2
    2×1.4230319111429-π/2
    2.84606382228581-1.57079632675     		φ = 1.27526750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80066542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27526750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.067446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15495 KachelY 3225 2.80066542 1.27526750 160.466308 73.067446
    Oben rechts KachelX + 1 15496 KachelY 3225 2.80104892 1.27526750 160.488281 73.067446
    Unten links KachelX 15495 KachelY + 1 3226 2.80066542 1.27515578 160.466308 73.061044
    Unten rechts KachelX + 1 15496 KachelY + 1 3226 2.80104892 1.27515578 160.488281 73.061044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27526750-1.27515578) × R
    0.000111720000000037 × 6371000     		dl = 711.768120000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27526750-1.27515578) × R
    0.000111720000000037 × 6371000     		dr = 711.768120000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80066542-2.80104892) × cos(1.27526750) × R
    0.00038349999999987 × 0.291245792056504 × 6371000     		do = 711.594581946885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80066542-2.80104892) × cos(1.27515578) × R
    0.00038349999999987 × 0.291352666982039 × 6371000     		du = 711.855707154636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27526750)-sin(1.27515578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291245792056504-0.291352666982039)×R²
    abs(2.80104892-2.80066542)×0.000106874925535905×R²
    0.00038349999999987×0.000106874925535905×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106874925535905×40589641000000     		ar = 506583.268619332m²