Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15494 / 7054
↖ ↑ ↗
← N 71.024106°
W  9.777832°		 ← 397.22 m → N 71.024106°
W  9.766846°		 →
↑
397.30 m
↓
↑
397.30 m
↓
N 71.020533°
W  9.777832°		 ← 397.29 m →
157 828 m²		 N 71.020533°
W  9.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472854614257812 y=0.215286254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472854614257812 × 215)
    floor (0.472854614257812 × 32768)
    floor (15494.5)     		tx = 15494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215286254882812 × 215)
    floor (0.215286254882812 × 32768)
    floor (7054.5)     		ty = 7054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15494 / 7054 ti = "15/15494/7054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15494/7054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15494 ÷ 215
    15494 ÷ 32768     		x = 0.47283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7054 ÷ 215
    7054 ÷ 32768     		y = 0.21527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.0543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17065536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21527099609375 × 2 - 1) × π
    0.5694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7890050938205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17065536} λ = -0.17065536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7890050938205))-π/2
    2×atan(5.98349648642438)-π/2
    2×1.40520041158445-π/2
    2.81040082316889-1.57079632675     		φ = 1.23960450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17065536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23960450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.024106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15494 KachelY 7054 -0.17065536 1.23960450 -9.777832 71.024106
    Oben rechts KachelX + 1 15495 KachelY 7054 -0.17046362 1.23960450 -9.766846 71.024106
    Unten links KachelX 15494 KachelY + 1 7055 -0.17065536 1.23954214 -9.777832 71.020533
    Unten rechts KachelX + 1 15495 KachelY + 1 7055 -0.17046362 1.23954214 -9.766846 71.020533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23960450-1.23954214) × R
    6.23600000000391e-05 × 6371000     		dl = 397.295560000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23960450-1.23954214) × R
    6.23600000000391e-05 × 6371000     		dr = 397.295560000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17065536--0.17046362) × cos(1.23960450) × R
    0.000191739999999996 × 0.325170316598449 × 6371000     		do = 397.220105090713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17065536--0.17046362) × cos(1.23954214) × R
    0.000191739999999996 × 0.325229287041174 × 6371000     		du = 397.292141941128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23960450)-sin(1.23954214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325170316598449-0.325229287041174)×R²
    abs(-0.17046362--0.17065536)×5.89704427245707e-05×R²
    0.000191739999999996×5.89704427245707e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.89704427245707e-05×40589641000000     		ar = 157828.094107253m²